수악중독

좌표평면에 곡선 $\left |y^2-1 \right | = \dfrac{x^2}{a^2}$ 과 네 점 $\mathrm{A}(0, \; c+1)$, $\mathrm{B}(0, \; -c-1), \; \mathrm{C}(c, \; 0)$, $\mathrm{D}(-c, \; 0)$ 이 있다. 곡선 위의 점 중 $y$ 좌표의 절댓값이 $1$ 보다 작거나 같은 모든 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{PC}}+\overline{\mathrm{PD}}=\sqrt{5}$ 이다. 곡선 위의 점 $\mathrm{Q}$ 가 제$1$사분면에 있고 $\overline{\mathrm{AQ}}=10$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{ABQ}$ 의 둘레의 길이를 구하시오. (단, $a$ 와 $..

두 초점이 $\mathrm{F}(5, \; 0)$, $\mathrm{F'}(-5, \; 0)$ 이고, 주축의 길이가 $6$ 인 쌍곡선이 있다. 쌍곡선 위의 $\overline{\mathrm{PF}} 더보기정답 $10$

서로 평행한 두 직선 $l_1, \; l_2$ 가 있다. 직선 $l_1$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에 대하여 점 $\mathrm{A}$ 와 직선 $l_2$ 사이의 거리는 $d$ 이다. 직선 $l_2$ 위의 점 $\mathrm{B}$ 에 대하여 $\left | \overrightarrow{\mathrm{AB}} \right |=5$ 이고, 직선 $l_1$ 위의 점 $\mathrm{C}$, 직선 $l_2$ 위의 점 $\mathrm{D}$ 에 대하여 $\left |4 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{CD}} \right |$ 의 최솟값은 $12$ 이다. $\left | 4 \overrightarrow{\mathrm{AB}}- \overrig..

그림과 같이 초점이 $\mathrm{F}$ 인 포물선 $y^2=8x$ 와 이 포물선 위의 제1사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 가 있다. 점 $\mathrm{P}$ 를 초점으로 하고 준선이 $x=k$ 인 포물선 중 점 $\mathrm{F}$ 를 지나는 포물선을 $C$ 라 하자. 포물선 $y^2=8x$ 와 포물선 $C$ 가 만나는 두 점을 $\mathrm{Q, \; R}$ 이라 할 때, 사각형 $\mathrm{PRFQ}$ 의 둘레의 길이는 $18$ 이다. 삼각형 $\mathrm{OFP}$ 의 넓이를 $S$ 라 할 때, $S^2$ 의 값을 구하시오. (단, $k$ 는 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표보다 크고, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.  더보기정답 $24$

그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0)$, $\mathrm{F'}(-c, \; 0)\; (c>0)$ 인 타원 $E_1$ 이 있다. 타원 $E_1$ 의 꼭짓점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고, 두 점 $\mathrm{A, \; F}$ 를 초점으로 하고 점 $\mathrm{F'}$ 을 지나는 타원을 $E_2$ 라 하자. 두 타원 $E_1, \; E_2$ 의 교점 중 $y$ 좌표가 양수인 점 $\mathrm{B}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{BF'}}-\overline{\mathrm{BA}}=\dfrac{1}{5}\overline{\mathrm{AF'}}$ 이 성립한다. 타원 $E_2$ 의 단축의 길이가 $4\sqrt{3}$ 일 때, $30..

점 $\mathrm{F}$ 를 초점으로 하는 포물선 $y^2=4x$ 가 있다. 다음 조건을 만족시키는 포물선 $y^2=4x$ 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{P, \; Q, \; R}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{PF}}+\overline{\mathrm{QF}}+\overline{\mathrm{RF}}$ 의 값은? 점 $\mathrm{P}$ 와 직선 $y=x-2$ 사이의 거리를 $k$ 라 할 때, 이 직선으로부터의 거리가 $k$ 가 되도록 하는 포물선 $y^2=4x$ 위의 점 중 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점은 $\mathrm{Q, \; R}$ 뿐이다. ① $17$          ② $\dfrac{35}{2}$          ③ $18$          ④ $\dfrac..

그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0)$, $\mathrm{F'}(-c, \; 0)$ $(c>0)$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{16}=1$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 이 쌍곡선과 직선 $\mathrm{PF'}$ 이 만나는 점 중 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{PF}}=\overline{\mathrm{QF}}$ 이고 $\overline{\mathrm{PQ}}=8$ 일 때, 선분 $\mathrm{FF'}$ 의 길이는? (단, $a>0$)  ① $8$          ② $4\sqrt{5}$          ③ $4\sqrt{6}$..

방향이 같은 두 벡터 $\overrightarrow{a}, \; \overrightarrow{b}$ 에 대하여 $\left | \overrightarrow{a} \right | = 3$, $\left | \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right |=6$ 일 때, 벡터 $\overrightarrow{b}$ 의 크기는? ① $3$          ② $\dfrac{7}{2}$          ③ $4$          ④ $\dfrac{9}{2}$          ⑤ $5$ 더보기정답 ④

한 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0) \; (c>0)$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}(x_1, \; y_1)$ 에서의 접선의 기울기와 직선 $\mathrm{PF}$ 의 기울기의 곱이 $1$ 일 때, $x_1^2 +y_1^2$ 의 값은? (단, $x_1 \ne c$) ① $\dfrac{11}{9}$          ② $\dfrac{4}{3}$          ③ $\dfrac{13}{9}$          ④ $\dfrac{14}{9}$          ⑤ $\dfrac{5}{3}$ 더보기정답 ①

초점이 $\mathrm{F}$ 인 포물선 $y^2=20x$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{PF}}=15$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표는? ① $9$ ② $10$ ③ $11$ ④ $12$ ⑤ $13$ 더보기 정답 ②