수악중독

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=9$, $\overline{\mathrm{BC}}=8$, $\overline{\mathrm{CA}}=7$ 인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 있다. 점 $\mathrm{C}$ 에서 선분 $\mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{B}$ 에서 선분 $\mathrm{AC}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 두 선분 $\mathrm{CP, \; BQ}$ 의 교점을 $\mathrm{R}$ 라 할 때, $4\overrightarrow{\mathrm{AR}} \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}..

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0)$, $\mathrm{F'}(-c, \; 0)$ $(c>0)$ 을 초점으로 하는 타원 $\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{75}=1$ 과 두 점 $\mathrm{F, \; F'}$ 를 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 이 있다. 타원과 쌍곡선이 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{F'P}$ 가 쌍곡선과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표는? (단, $a$ 와 ..

$\overline{\mathrm{AB}}=2$, $\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{5}$ 인 직사각형 $\mathrm{ABCD}$ 를 밑면으로 하고 $\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{OD}}=2$ 인 사각뿔 $\mathrm{O-ABCD}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{OA}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 하고, 점 $\mathrm{M}$ 에서 평면 $\mathrm{OBD}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{BH}$ 의 길이를 $k$ 라 할 때, $90k^2$ 의 값을 구하시오.   더보기정답 $220$

좌표평면에 한 변의 길이가 $4\sqrt{2}$ 인 정삼각형 $\mathrm{OAB}$ 와 다음 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{C}$ 가 있다. (가) $\left | \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right |=4$(나) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}>0$ $\left ( \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\..

공간에 점 $\mathrm{P}$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{A', \; B'}$ 이라 할 때, $$\overline{\mathrm{AA'}}=9, \quad \overline{\mathrm{A'P}}=\overline{\mathrm{A'B'}}=5, \quad \overline{\mathrm{PB'}}=8$$ 이다. 선분 $\mathrm{PB'}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 에 대하여 $\angle \mathrm{MAB}=\dfrac{\pi}{2}$ 일 때, 직선 $\mathrm{BM}$ 과 평면 $\mathrm{APB'}$ 이 ..

타원 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2a^2}=1$ 위의 점 $(2, \; a)$ 에서의 접선의 기울기가 $-3$ 일 때, $a$ 의 값은? (단, $a$ 는 양수이다.) ① $6$          ② $7$          ③ $8$          ④ $9$          ⑤ $10$ 더보기정답 ①

좌표평면 위의 점 $\mathrm{A}(4, \; 2)$ 에 대하여 $$\left ( \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right ) \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=0$$ 을 만족시키는 점 $\mathrm{P}$ 가 나타내는 도형이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{B, \; C}$ 라 할 때, 삼각형 $\mathrm{OBC}$ 의 넓이는? (단, $\mathrm{OP}$ 는 원점이다.) ① $21$          ② $22$          ③ $23$           ④ $24$          ⑤ $25$ 더보기정답 ⑤

점 $\mathrm{F}$ 를 초점으로 하고 직선 $l$ 을 준선으로 하는 포물선이 있다. 이 포물선 위의 한 점 $\mathrm{P}$ 에서 준선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{FH}$ 가 이 포물선과 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 하자. 점 $\mathrm{F}$ 와 직선 $l$ 사이의 거리가 $4$ 이고 $\overline{\mathrm{HA}}:\overline{\mathrm{AF}}=3:1$ 일 때, 선분 $\mathrm{PH}$ 의 길이는? ① $15$          ② $18$          ③ $21$          ④ $24$          ⑤ $27$  더보기정답 ②

밑면의 반지름의 길이가 $3$, 높이가 $3$ 인 원기둥이 있다. 이 원기둥의 한 밑면의 둘레 위의 한 점 $\mathrm{P}$ 에서 다른 밑면에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P'}$ 이라 하고, 점 $\mathrm{P}$ 를 포함하는 밑면의 중심을 $\mathrm{O}$ 라 하자. 점 $\mathrm{P'}$ 을 포함하는 밑면의 둘레 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에 대하여 점 $\mathrm{O}$ 에서 선분 $\mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{BP'}}=6$, $\overline{\mathrm{OH}}=\sqrt{13}$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{PAH}$ 의 넓이는? ① $\sq..

두 양수 $a, \; c$ 에 대하여 두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0)$, $\mathrm{F'}(-c, \; 0)$ 을 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{3}=1$ 이 있다. 두 직선 $\mathrm{PF, \; PF'}$ 이 서로 수직이 되도록 하는 이 쌍곡선 위의 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$, $\overline{\mathrm{PQ}}=\dfrac{a}{3}$ 인 선분 $\mathrm{PF'}$ 위의 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 직선 $\mathrm{QF}$ 와 $y$ 축이 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{A}$ 에서 두 직선 $\mathrm{PF, \; PF'}$ 에 내린 ..