수악중독

좌표평면 위의 다섯 점 $$\mathrm{A}(0, \; 8), \; \mathrm{B}(8, \; 0), \; \mathrm{C}(7, \; 1), \; \mathrm{D}(7, \; 0), \; \mathrm{E}(-4, \; 2)$$가 있다. 삼각형 $\mathrm{AOB}$ 의 변 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 와 삼각형 $\mathrm{CDB}$ 의 변 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 $\left | \overrightarrow{\mathrm{PQ}} + \overrightarrow{\mathrm{OE}} \right |^2$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.)   더보기정..

좌표평면에서 방향벡터가 $\overrightarrow{u}=(3, \; 1)$ 인 직선 $l$ 과 법선벡터가 $\overrightarrow{n}=(1, \; -2)$ 인 직선 $m$ 이 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? ① $\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$          ② $\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$          ③ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$          ④ $\dfrac{3\sqrt{2}}{5}$          ⑤ $\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$ 더보기정답 ⑤

그림과 같이 한 모서리의 길이가 $3$ 인 정육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$ 에서 선분 $\mathrm{EH}$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{EF}$ 를 $1:2$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{A}$ 와 직선 $\mathrm{PQ}$ 사이의 거리는?  ① $\dfrac{7\sqrt{5}}{5}$          ② $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$          ③ $\dfrac{8\sqrt{5}}{5}$          ④ $\dfrac{17\sqrt{5}}{10}$          ⑤ $\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$ 더보기정답 ①

포물선 $(y+2)^2=16(x-8)$ 의 초점에서 포물선 $y^2=-16x$ 에 그은 두 접선의 접점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하자. 포물선 $y^2=-16x$ 의 초점을 $\mathrm{F}$ 라 할 때, $\overline{\mathrm{PF}}+\overline{\mathrm{QF}}$ 의 값은? ① $33$          ② $34$          ③ $35$          ④ $36$          ⑤ $37$ 더보기정답 ①

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=9$, $\overline{\mathrm{BC}}=8$, $\overline{\mathrm{CA}}=7$ 인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 있다. 점 $\mathrm{C}$ 에서 선분 $\mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{B}$ 에서 선분 $\mathrm{AC}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 두 선분 $\mathrm{CP, \; BQ}$ 의 교점을 $\mathrm{R}$ 라 할 때, $4\overrightarrow{\mathrm{AR}} \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}..

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0)$, $\mathrm{F'}(-c, \; 0)$ $(c>0)$ 을 초점으로 하는 타원 $\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{75}=1$ 과 두 점 $\mathrm{F, \; F'}$ 를 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 이 있다. 타원과 쌍곡선이 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{F'P}$ 가 쌍곡선과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표는? (단, $a$ 와 ..

$\overline{\mathrm{AB}}=2$, $\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{5}$ 인 직사각형 $\mathrm{ABCD}$ 를 밑면으로 하고 $\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{OD}}=2$ 인 사각뿔 $\mathrm{O-ABCD}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{OA}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 하고, 점 $\mathrm{M}$ 에서 평면 $\mathrm{OBD}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{BH}$ 의 길이를 $k$ 라 할 때, $90k^2$ 의 값을 구하시오.   더보기정답 $220$

좌표평면에 한 변의 길이가 $4\sqrt{2}$ 인 정삼각형 $\mathrm{OAB}$ 와 다음 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{C}$ 가 있다. (가) $\left | \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right |=4$(나) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}>0$ $\left ( \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\..

공간에 점 $\mathrm{P}$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{A', \; B'}$ 이라 할 때, $$\overline{\mathrm{AA'}}=9, \quad \overline{\mathrm{A'P}}=\overline{\mathrm{A'B'}}=5, \quad \overline{\mathrm{PB'}}=8$$ 이다. 선분 $\mathrm{PB'}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 에 대하여 $\angle \mathrm{MAB}=\dfrac{\pi}{2}$ 일 때, 직선 $\mathrm{BM}$ 과 평면 $\mathrm{APB'}$ 이 ..

타원 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2a^2}=1$ 위의 점 $(2, \; a)$ 에서의 접선의 기울기가 $-3$ 일 때, $a$ 의 값은? (단, $a$ 는 양수이다.) ① $6$          ② $7$          ③ $8$          ④ $9$          ⑤ $10$ 더보기정답 ①