구의 방정식 & 공간좌표_난이도 상 (2024년 9월 평가원 기하 28번)

 

 

좌표공간에 두 점 $\mathrm{A}(a, \; 0, \; 0)$, $\mathrm{B} \left (0, \; 10\sqrt{2}, \; 0 \right )$ 과 구 $S:x^2+y^2+z^2=100$ 이 있다. $\angle \mathrm{APO}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 구 $S$ 위의 모든 점 $\mathrm{P}$ 가 나타내는 도형을 $C_1$, $\angle \mathrm{BQO}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 구 $S$ 위의 모든 점 $\mathrm{Q}$ 가 나타내는 도형을 $C_2$ 라 하자. $C_1$ 과 $C_2$ 가 서로 다른 두 점 $\mathrm{N}_1, \; \mathrm{N}_2$ 에서 만나고 $\cos (\angle \mathrm{N_1ON_2})=\dfrac{3}{5}$ 일 때, $a$ 의 값은? (단, $a>10\sqrt{2}$ 이고, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.)

 

 

① $\dfrac{10}{3}\sqrt{30}$          ② $\dfrac{15}{4}\sqrt{30}$          ③ $\dfrac{25}{6}\sqrt{30}$          ④ $\dfrac{55}{12}\sqrt{30}$          ⑤ $5\sqrt{30}$

 

정답 ①