수악중독

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 의 역함수가 존재하고, 함수 $(f \circ f)(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할때, 함수 $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g(3)=1, \; g(4)=2$(나) 함수 $g(x)$ 는 $x=3$ 과 $x=4$ 에서 미분가능하지 않다. $f(5)$ 의 값을 구하시오. 정답 $30$

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=2$ 이고 $\angle {\rm ABC} =2 \angle {\rm BAC}$ 를 만족하는 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AC$ 를 지름으로 하는 원과 직선 $\rm AB$ 가 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm P$, 점 $\rm P$ 를 지나고 선분 $\rm BC$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm AC$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. $\angle {\rm BAC }=\theta$ 라 할 때, 삼각형 $\rm APQ$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}$ 의 값은? (단, $0

상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수인 이차함수 $f(x)$ 가 있다. 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=|f'(x)|e^{f(x)}$$ 일 때, 함수 $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=2$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) 함수 $g(x)$ 의 최댓값은 $4\sqrt{e}$ 이다.(다) 방정식 $g(x)=4\sqrt{e}$ 의 근은 모두 유리수이다. $|f(-1)|$ 의 값을 구하시오. 정답 $71$

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 와 원점을 지나는 직선 $y=g(x)$ 가 양의 상수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to n} \dfrac{f(x)g(x)}{x-n}=0, \;\; \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\{f(x)g(x)\}^{\prime}}{x^3}=4n$ (나) 함수 $|f(x)|$ 는 $x=0$ 에서만 미분가능하지 않다.(다) $f \left ( \dfrac{2n}{3} +x \right ) + f \left ( \dfrac{2n}{3}-x \right ) = \dfrac{4n^3}{27}$ 실수 전체에서 연속인 함수 $h(x)$ 가 $h(x)= \left \{ \begin{array}{ll}..

$x \ge 0$에서 $f(x)>0$ 인 연속함수 $f(x)$ 와 일차함수 $g(x)$ 가 임의의 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) 닫힌 구간 $[0, \; 1]$ 에서 $f(x)=2^{-x}$ 이다.(나) 열린 구간 $(2n-1, \; 2n)$ 의 임의의 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 $x=t$ 및 $x$ 축, $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(t)$ 라 할 때, $S'(t)=nt+f(2n)-2n^2$ 이다.(다) 닫힌 구간 $[2n, \; 2n+1]$ 의 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)=f(x-2)+g(n)$ 이다. $g \left ( \dfrac{25}{2} \right ) \times \displaystyle \int_2^4 f(x) \;..

미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음의 등식을 만족시킬 때, $f(1)$ 의 값을 구하시오.$$\displaystyle \int_0^x f(t) \; dt = x^3 - 3x^2 +x + \int_0^x tf(x-t)dt, \;\; f(0)=1$$ 정답 $e-6$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $-1 \le x \le 1 $ 일 때 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 이다. (단, $a, \; b, \; c, \; d$ 는 상수)(나) $x \ge 1$ 일 때 $2f(x)-2f(x-1)=f'(x)$ 이다.(다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)+f(-x)=0$ 이다. $f(1)=2e^2$ 일 때, $\displaystyle \int_{-2}^2 | f(x) | \; dx = pe^2+qe^4$ ($p, \;q$ 는 유리수)이다. $p+q$ 의 값은? ① $8$ ② $10$ ③ $12$ ④ $14$ ⑤ $16$ 정답 ①

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $-1 \le x \le 4$ 에서 함수 $f(x)$ 는 다음과 같다.$$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 2xe^{x^2-1}+2 & (-1 \le x

실수 $a$ 와 함수 $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{1}{4}x^2 -c$ ($c>0$ 인 상수)에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 개가 되도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$ 은 자연수)이다. $a=\alpha_1$ 일 때, 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=2$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) $\displaystyle \int_{\alpha..

이 문제는 2017학년도 샤인미 모의고사 1회 30번 문제입니다. 풀이 영상 공유를 허락해 주신 출제자님께 감사드립니다. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=g(1)$ (나) 세 실수 $a, \; b, \; c$ 와 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $0 \le x \le 1$ 일 때, $f(x+n)=g\left (\dfrac{a}{x-b}+cx \right ) +n$ 이다. 연속함수 $f'(x)$ 와 임의의 음이 아닌 두 실수 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $$\{ f'(x_1) - f'(x_2) \}(x_1-x_2) \ge 0$$일 때, $\displaystyle ..