(이과) 구분구적법과 정적분_난이도 상

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $-1 \le x \le 4$ 에서 함수 $f(x)$ 는 다음과 같다.$$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 2xe^{x^2-1}+2 & (-1 \le x <1) \\ 2x+2 & (1 \le x < 2) \\ 6|x-3| & (2 \le x <4) \end{array}\right .$$

(나) 모든 정수 $k$ 에 대하여 $f(x+5k)-f(x)=6k\; (-1 \le x < 4)$ 이다.

실수 $t$ 에 대하여 방정식 $f(x)=t$ 를 만족시키는 모든 실근 $x$ 의 값의 합을 $g(t)$ 라고 할 때, $\sum \limits_{n=1}^5 \left \{ \displaystyle \int_{6n-4}^{6n-2} g(t) \; dt \right \} = p+\dfrac{q}{e}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 자연수이다.)

정답 $370$