(이과) 정적분으로 정의된 함수&홀함수의 정적분&부분적분_난이도 상

실수 $a$ 와 함수 $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{1}{4}x^2 -c$  ($c>0$ 인 상수)에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 개가 되도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$ 은 자연수)이다. $a=\alpha_1$ 일 때, 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$ 는 $x=2$ 에서 극솟값을 갖는다.

(나) $\displaystyle \int_{\alpha_1}^{\alpha_m} g(x) \; dx = k \alpha_m \int_0^2 | f(x) | \; dx$

$m+k+c$ 의 값은?

① $15$          ② $16$          ③ $17$          ④ $18$          ⑤ $19$ 

정답 ①