수악중독

양수 \(a\) 에 대하여 점 \((a,\;0)\) 에서 곡선 \(y=3x^3\) 에 그은 접선과 점 \((0, \;a)\) 에서 곡선 \(y=3x^3\) 에 그은 접선이 서로 평행할 때, \(90a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(20\)

실수 \(x\) 에 대한 \(3\)차 방정식 \(x^3 -3x=t-2\) 의 실수 \(t\) 의 값에 따른 실근의 개수를 \(f(t)\) 라 하자. 실수 \(t\) 에 대한 방정식 \(f(t)=a^t\) 이 실근을 갖게 하는 양의 실수 \(a\) 의 최솟값은? (단, \(a \ne 1\) ) ① \(2^\frac{1}{4}\) ② \(3^\frac{1}{4}\) ③ \(2^\frac{1}{2}\) ④ \(3^\frac{1}{2}\) ⑤ \(3\) 이 문제는 교육청 모의고사 기출문제입니다. 원 문제의 풀이에서는 정답이 ①으로 되어 있습니다. 제 생각에 정답이 ①이 되기 위해서는 문제가 "t 의 값에 따른 실근의 개수"가 아닌 "t의 값에 따른 방정식 해집합의 원소의 개수" 가 되어야 합니다. 중근일지라도 ..

그림은 삼차함수 \(y=f(x)\) 와 사차함수 \(y=g(x)\) 의 도함수 \(y=f'(x)\) 와 \(y=g'(x)\) 의 그래프이다. 옳은 것을 에서 모두 고르면? (단, \(f'(0)=0,\;\;g'(0)=0\) ) ㄱ. \(x

그림과 같이 케이블 \(l,\;m,\;n\) 은 모두 벽면과 수직이고, 케이블 사이의 거리가 각각 \(1, \;2\) 이다. \(l\) 위의 광원 \(\rm A\) 에서 \(m\) 위의 물체 \(\rm B\) 에 빛을 비추면 \(n\) 위에 그림자 \(\rm C\) 가 나타난다. 광원 \(\rm A\) 와 물체 \(\rm B\) 의 시각 \(t\;\;(t \leq 8)\) 에서 벽으로부터의 거리를 각각 \(x=4-\dfrac{1}{2}t,\;\; y= t^2 - \dfrac{11}{2}t+10\) 이라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, 광원, 물체, 그림자의 크기는 무시한다.) ㄱ. \(t=\dfrac{5}{2}\) 에서 광원과 물체의 속도가 같아진다. ㄴ. \(\rm A\) 와 ..

최고차항의 계수가 \(1\) 인 삼차함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 를 만족시킨다. 방정식 \(\left | f(x) \right | =2\) 의 서로 다른 실근의 개수는 \(4\) 일 때, \(f(3)\) 의 값은? ① \(12\) ② \(14\) ③ \(16\) ④ \(18\) ⑤ \(20\) 정답 ④

점 \({\rm P}(a,\;b)\) 에서 곡선 \(y=x^3 -x\) 에 그을 수 있는 접선의 개수가 \(2\) 일 필요충분조건은? ① \( a+b=0\) ② \(-a^3 +a+b=0\) ③ \((a+b)(-a^3 +a+b)\) ④ \(a\ne 0,\;\;(a+b)(-a^3 +a+b)=0\) ⑤ \(b \ne 0, \;\; (a+b)(-a^3 +a+b)=0\) 정답 ④

함수 \(f(x)=x^3 +k \left | x-1 \right | \) 이 모든 실수 \(x\) 에서 증가하도록 상수 \(k\) 의 값을 정할 때, 정수 \(k\) 의 개수는? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ④

곡선 \(y=x^3 -3x\) 위의 원점이 아닌 한 점 \(\rm P\) 에서의 접선을 \(l_1\) 이라 하자. 직선 \(l_1\) 과 곡선 \(y=x^3 -3x\) 의 교점 중에서 점 \(\rm P\) 가 아닌 점을 \(\rm Q\) 라 할 때, 점 \(\rm Q\) 에서의 접선을 \(l_2\) 라 하자. 두 직선 \(l_1 , \; l_2\) 의 기울기를 각각 \(m_1 , \; m_2\) 라 할 때, \(m_1 \geq 1\) 이면 \(m_2 \geq \alpha\) 이다. 이때, \(\alpha\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(13\)

다항함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f'(a)\) 와 항상 같은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(a)-f(a-h)}{h}\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to \frac{a}{2}} \dfrac{f(2x)-f(a)}{2x-a}\) ㄷ. \(\lim \limits_{x \to a} \dfrac{f \left (x^2 \right ) - f(a)}{x^2 -a}\) ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 의 도함수 \(y=f'(x)\) 의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 다음 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 골라라. ㄱ. \(y=f(x)\) 는 모든 점에서 미분가능하다. ㄴ. \(f(x)=0\) 을 만족하는 \(x\) 의 값은 \(3\) 개다. ㄷ. \(y=f(x)\) 의 극값은 \(3\) 개다. 정답 ㄷ