수악중독

자연수 \(n\) 에 대하여 포물선 \(y^2=\dfrac{x}{n}\) 의 초점 \(\rm F\) 를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. \(\overline{\rm PF}+1\) 이고 \(\overline{\rm FQ}=a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{10} \dfrac{1}{a_n}\) 의 값은? ① \(210\) ② \(205\) ③ \(200\) ④ \(195\) ⑤ \(190\) 정답 ①

포물선 \(y^2=4x\) 의 초점을 \(\rm F\), 준선이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(\rm P\), 점 \(\rm P\) 를 지나고 기울기가 양수인 직선 \(l\) 이 포물선과 만나는 두 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 하자. \(\overline{\rm FA}:\overline{\rm FB}=1:2\) 일 때, 직선 \(l\) 의 기울기는? ① \(\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\) ② \(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) ③ \(\dfrac{4}{5}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ⑤ \(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\) 정답 ⑤

아래 그림과 같은 구 모양의 지구본이 있다. 구의 중심을 \(\rm O\), 적도 상에 있는 동경 \(120^{\rm o}\) 인 지점을 \(\rm A\) 라 하고, 동경 \(150^{\rm o}\), 북위 \(30^{\rm o}\) 인 지점을 \(\rm B\) 라 하자. \(\angle \rm AOB\) 의 크기를 \(\omega\) 라 할 때, \(\cos \omega\) 의 값은?① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) ③ \(\dfrac{1}{2}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) ⑤ \(\dfrac{3}{4}\) 정답 ⑤

그림과 같이 \(x\) 축에 접하는 두 원 \(x^2+(y-10)^2=100,\;\;(x-12)^2+(y-5)^2=25\) 가 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에서 만나고 있다. 이때 점 \(\rm P\) 를 초점으로 하고 \(x\) 축을 준선으로 하는 포물선과 점 \(\rm Q\) 를 초점으로 하고 \(x\) 축을 준선으로 하는 포물선이 만나는 두 점 사이의 거리를 구하시오. 정답 \(13\)

그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 점 \(\rm A\) 가 있고, \(\alpha\) 로부터의 거리가 각각 \(1,\;3\) 인 두 점 \(\rm B,\;C\) 가 있다. 선분 \(\rm AC\) 를 \(1:2\) 로 내분하는 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(\overline{\rm BP}=4\) 이다. 삼각형 \(\rm ABC\) 의 넓이가 \(9\) 일 때, 삼각형 \(\rm ABC\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S\) 라 하자. \(S^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(45\)

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}=2,\; \overline{\rm AE}=3\) 인 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 선분 \(\rm AB\) 와 선분 \(\rm CD\) 의 중점을 각각 \(\rm I, \;J\) 라 할 때, 평면 \(\rm EIJH\) 와 평면 \(\rm IFGJ\) 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 평면 \(\rm EIJH\) 와 평면 \(\rm IFGJ\) 가 이루는 예각의 크기는 \(\angle \rm EIF\) 의 크기와 같다. ㄴ. 사각형 \(\rm IFGJ\) 의 평면 \(\rm EIJH\) 위로의 정사영의 넓이는 \(\dfrac{8\sqrt{10}}{5}\) 이다. ㄷ. 선분 \(\rm JF\) 의 평..

좌표공간에 두 구 \[(x-1)^2+(y-a)^2+(z-\sqrt{3})^2=4,\;\;x^2+(y-2)^2+z^2=4\] 가 있다. 두 구가 만날 때 생기는 두 구 내분의 공통영역의 부피 \(V\) 의 최댓값은? ① \(\dfrac{7}{3}\pi\) ② \(\dfrac{8}{3}\pi\) ③ \(3\pi\) ④ \(\dfrac{10}{3}\pi\) ⑤ \(\dfrac{11}{3}\pi\) 정답 ④

그림과 같이 \(\angle \rm A=75^{\rm o}, \; \angle \rm C=45^{\rm o} , \; \overline{\rm AB}=4\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 변 \(\rm AC\) 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 에 대하여 점 \(\rm Q\) 가 \(\vec{\rm AP}+\vec{\rm AB} = 3 \vec{\rm AQ}\) 를 만족시킬 때, 점 \(\rm Q\) 가 나타내는 도형의 길이는? ① \(\dfrac{\sqrt{6}}{6}\) ② \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) ④ \(\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\) ⑤ \(\dfrac{5\sqrt{6}}{6}\) 정답 ④

그림과 같이 점 \(\rm F(1, \;0)\) 을 지나는 직선이 포물선 \(y^2=4x\) 와 만나는 점을 \(\rm A, \;B\) 라고 하고, 두 점 \(\rm A, \;B\) 에서의 접선이 \(x\) 축과 만나는 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. \(\angle \rm PAF=\dfrac{\pi}{6}\) 일 때, \(\overline{\rm PQ}\) 의 길이는?① \(2\) ② \(\dfrac{7}{3}\) ③ \(\dfrac{9}{4}\) ④ \(\dfrac{8}{3}\) ⑤ \(3\) 정답 ④삼각형 \(\rm APF\) 가 이등변 삼각형이 되는 것은 다 알고 계실거라 믿습니다.따라서 \( \angle \rm APF= \dfrac{\pi}{6}\) 가 됩니다. 결국 \(\ang..

두 직선 \(l_1 \;:\; \dfrac{x}{-6} = \dfrac{y-1}{9} = \dfrac{z}{-3},\;\; l_2 \;:\; \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-4}{-3}=z\) 를 포함하는 평면의 방정식을 구하시오. 정답 \(3x-y-9z+1=0\)