수악중독

좌표공간에서 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =4\) 위를 움직이는 두 점 \(\rm P, \;Q\) 가 있다. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에서 평면 \(y=4\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm P_1 ,\; Q_1\) 이라 하고, 평면 \(y+\sqrt{3}z+8=0\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm P_2 , \; Q_2\) 라 하자. \(2 \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | ^2 - \left | \overrightarrow{\rm P_1 Q_1} \right | ^2 - \left | \overrightarrow{\rm P_2 Q_2} \right | ^2\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(24\)

좌표공간의 세 평면 \(x-3y+z-2=0\), \(ax-y+2z+3=0\), \(2x+by-z-1=0\) 이 한 직선을 공유하도록 두 상수 \(a,\;b\) 의 값을 정할 때, \(7b-2a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(16\)

좌표공간에서 두 구 \(x^2 +(y-1)^2 +z^2 =1\), \( (x-k)^2 + (y-1)^2 +z^2 =1\) 의 평면 \(x+y-z=-10\) 위로의 정사영이 오직 한 점만을 공유할 때, \(k^2\) 의 값은? ① \(6\) ② \(9\) ③ \(12\) ④ \(18\) ⑤ \(24\) 정답 ①

\(\triangle {\rm ABC}\) 의 외심을 \(\rm O\), 수심을 \(\rm H\) 라고 할 때, \( \overrightarrow{\rm OH} =x \overrightarrow{\rm OA} + y \overrightarrow{\rm OB} + z \overrightarrow{\rm OC}\) 를 만족하는 실수 \(x,\;y,\;z\) 에 대하여 \(x+y+z\) 의 값을 구하시오. 정답 \(3\) [기하와 벡터 질문과 답변/벡터] - 기하와 벡터_벡터_수심벡터_난이도 상

좌표공간에서 원점을 지나는 구 \(S\) 와 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =1\) 이 만나서 생기는 교선은 반지름의 길이가 \(\dfrac{1}{2}\) 인 원이 된다. 구 \(S\) 의 중심이 나타내는 도형 전체의 겉넓이는? ① \(\dfrac{2}{3}\pi\) ② \(\dfrac{5}{6}\pi\) ③ \(\pi\) ④ \(\dfrac{7}{6}\pi\) ⑤ \(\dfrac{4}{3}\pi\) 정답 ⑤

사면체 \(\rm OABC\) 의 모서리 \(\rm OA, \; OB, \; OC\) 를 \(1:1 ,\; 2:1, \; 3:1\) 로 내분하는 점을 각각 \(\rm P, \;Q,\;R\) 라 하자. 점 \(\rm C\) 와 삼각형 \(\rm PQR\) 의 무게중심 \(\rm G\) 를 지나는 직선이 평면 \(\rm OAB\) 와 만나는 점을 \(\rm H\) 라 할 때, \(\overrightarrow{\rm OH} = \alpha \; \overrightarrow{\rm OA} + \beta \; \overrightarrow{\rm OB}\) 로 나타낼 수 있다. 두 실수 \(\alpha, \; \beta\) 의 합 \(\alpha + \beta\) 의 값은? ① \(\dfrac{11}{27}\) ②..

그림과 같이 평면 위의 정삼각형 \(\rm ABC\) 에서 선분 \(\rm BC, \; CA,\; AB\) 를 각각 \(2:1, \; 1:1, \;2:1\) 로 내분하는 점을 차례로 \(\rm D, \;E,\;F\) 라 하자. 점 \(\rm D,\;E,\;F\) 를 출발하여 \(\overrightarrow{\rm BC},\; \overrightarrow{\rm CA},\; \overrightarrow{\rm AB}\) 의 방향으로 같은 속력으로 움직이고 있는 점을 각각 \(\rm P, \;Q,\;R\) 라 하고, 삼각형 \(\rm PQR\) 의 무게중심을 \(\rm G\) 라 하자. 평면 위의 일정한 점 \(\rm O\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm OG}= l \; \overrig..

삼각형 \(\rm ABC\) 에 대하여 점 \(\rm P\) 는 \[ 3 \overrightarrow{\rm PA} + 2 \overrightarrow{\rm PB} + \overrightarrow{\rm PC} = k \overrightarrow{\rm BC}\] 를 만족한다. 점 \(\rm P\) 가 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내부에 있도록 하는 모든 정수 \(k\) 의 값의 합은? ① \(-2\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ②

공간에서 \(\overline{\rm AB} = 8 ,\; \overline{\rm BC}=5, \; \overline{\rm CA}=7\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내심을 \(\rm I\) 라 할 때, 평면 \(\rm ABC\) 위에 있지 않은 점 \(\rm O\) 에 대하여 \[\overrightarrow{\rm OI}=p \; \overrightarrow{\rm OA}+ q \; \overrightarrow{\rm OB} + r \; \overrightarrow{\rm OC}\] 가 성립한다. \(\dfrac{7}{pqr}\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q,\;r\) 은 상수이다.) 정답 \(200\)

그림과 같이 \(-1 \leq k \leq 1\) 인 실수 \(k\) 에 대하여 두 타원 \(9x^2 +4y^2 =9, \;\; x^2 +4y^2 +1\) 과 직선 \(x=k\) 와의 교점 중 \(y\) 좌표가 음이 아닌 실수인 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 하자. \(\overrightarrow{\rm OP} = \overrightarrow{\rm OA} + \overrightarrow{\rm OB}\) 를 만족시키는 점 \(\rm P\) 전체의 집합이 나타내는 도형의 길이는? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(\dfrac{\pi}{2}\) ② \(\pi\) ③ \(\dfrac{\pi}{2}\) ④ \(2\pi\) ⑤ \(\dfrac{\pi}{2}\) 정답 ④