수악중독

좌표평면에서 점 \({\rm A} (1, \;0)\) 과 부등식 \(y \geq x^2 +\dfrac{1}{4}\) 이 나타내는 영역에 점 \(\rm P\) 가 있다. \(0 \leq t \leq \dfrac{1}{ | \overrightarrow{\rm AP} |}\) 인 실수 \(t\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm AQ} = t \; \overrightarrow{\rm AP}\) 를 만족시키는 점 \(\rm Q\) 전체의 집합이 나타내는 도형의 넓이는? ① \(\dfrac{\pi}{4}\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(\dfrac{\pi}{2}\) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(2\) 정답 ①

평면 위에 사각형 \(\rm ABCD\) 내부의 한 점 \(\rm P\) 가 \[2 \left ( \overrightarrow {\rm BP} + \overrightarrow{\rm CP} \right ) = \overrightarrow{\rm AD} + \overrightarrow{\rm CD} , \;\; 2 \overrightarrow {\rm BP} = \overrightarrow{\rm PA} - 3 \overrightarrow{\rm CP} \] 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 사각형 \(\rm APCD\) 는 평행사변형이다. ㄴ. 직선 \(\rm AP\) 와 선분 \(\rm BC\) 의 교점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overline{\rm PA} ..

그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\) 인 구의 중심 \(\rm O\) 를 지나 세 평면 \(\alpha, \; \beta ,\; \gamma\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 이루는 예각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{3}\) 이다.(나) 두 평면 \(\beta, \; \gamma \) 가 이루는 예각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{2}\) 이다. 두 점 \(\rm A, \; B\) 는 각각 두 평면 \(\beta , \; \gamma\) 의 교선, 두 평면 \(\gamma, \; \alpha\) 의 교선이 구와 만나는 점이고 호 \(\rm AB\) 의 길이는 \(\dfrac{\pi}{6}\) 이다. 두 평면 \(\alpha , \; \ga..

그림과 같이 \(\overline {\rm AB} =2,\; \overline{\rm AD}=3,\; \overline{\rm AE}=4\) 인 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 평면 \(\rm AFGD\) 와 평면 \(\rm BEG\) 의 교선을 \(l\) 이라 하자. 직선 \(l\) 과 평면 \(\rm EFGH\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos ^2 \theta\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{7}\) ② \(\dfrac{2}{7}\) ③ \(\dfrac{3}{7}\) ④ \(\dfrac{4}{7}\) ⑤ \(\dfrac{5}{7}\) 정답 ⑤

반지름의 길이가 \(1\), 중심이 \(\rm O\) 인 원을 밑면으로 하고 높이가 \(2\sqrt{2}\) 인 원뿔이 평면 \(\alpha\) 에 놓여 있다. (단, 원뿔의 한 모선이 평면 \(\alpha\) 에 포함된다.) 그림과 같이 원뿔을 평면 \(\alpha\) 와 평행하고 원뿔의 밑면의 중심 \(\rm O\) 를 지나는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 일부분은 포물선이다. 이때 단면의 넓이는? ① \(\dfrac{13}{8}\) ② \(\dfrac{7}{4}\) ③ \(\dfrac{15}{8}\) ④ \(2\) ⑤ \(\dfrac{17}{8}\) 정답 ④

좌표공간에서 평면 \(x+y+z=1\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 점 \(\rm Q\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 \(\rm Q\) 는 반직선 \(\rm OP\) 위의 점이다. (나) \(\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ} = 1\) 세 점 \({\rm A}(1,\;0,\;0), \;\; {\rm B}(0,\;1,\;0),\;\; {\rm C}(0,\;0,\;1)\) 이고, \(\left | \overrightarrow{\rm OQ} \right |\) 의 값이 최대가 되도록 하는 점 \(\rm Q\) 를 \(\rm D\) 라 할 때, 사면체 \(\rm ABCD\) 의 부피는? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ①..

좌표공간에서 직선 \(\dfrac{x-1}{2}= y+1=-z\) 가 \(xy\) 평면, \(zx\) 평면과 만나는 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 하자 이때, 선분 \(\rm AB\) 의 평면 \(x-z=0\) 위로의 정사영의 길이는? ① \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(\dfrac{\sqrt{14}}{2}\) 정답 ①

좌표공간 위에 두 점 \({\rm A}(2, \;0,\;-1),\;\; {\rm B}(a,\;b,\;c)\) 와 평면 \(\alpha : x+2y-z+3=0\) 이 있다. 평면 \(\alpha\) 가 선분 \(\rm AB\) 를 \(1:2\) 로 내분하는 점을 지나고 직선 \(\rm AB\) 와 수직일 때, \(abc\) 의 값을 구하시오. 정답 \(12\)

좌표공간에서 직선 \(g\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 \(g\) 의 방향벡터 \(\vec{u}=(a,\;b,\;c)\) 에 대하여 \(abc \ne 0\) 이다. (나) 직선 \(g\) 는 원점을 지나는 직선과 점 \((1, \; -1,\; 1)\) 에서 수직으로 만난다. 점 \({\rm A}(0,\;0,\;1)\) 과 직선 \(g\) 사이의 거리의 최솟값은? ① \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ② \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) ③ \(\sqrt{3}\) ④ \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) ⑤ \(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\) 정답 ②

좌표공간에서 평행한 두 직선 \(g_1 : x=0,\; -y+2=\dfrac{z-1}{2},\; \;g_2\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 \(g_1\) 위의 한 점과 직선 \(g_2\) 사이의 거리는 \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) 이다. (나) 원점 \(\rm O\) 와 직선 \(g_2\) 사이의 거리는 \(\dfrac{5}{2}\) 이다. 원점 \(\rm O\) 에서 두 직선 \(g_1, \; g_2\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm H_1 , \; H_2\) 라 할 때, 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm OH_1}, \; \overrightarrow{\rm OH_2}\) 의 내적 \(\overrightarrow{\rm OH_1} \cdot \overri..