수악중독

두 자연수 $k, \; m \; (k \ge m)$에 대하여 전체집합 $$U=\{x \; |\; x\text{는 }k \text{ 이하의 자연수}\}$$의 두 부분집합 $A=\{x \; | \; x\text{는 } m\text{의 약수}\}$, $B$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $B-A=\{4, \; 7\}, \; n\left (A \cup B^C \right )=7$ (나) 집합 $A$의 모든 원소의 합과 집합 $B$의 모든 원소의 합은 서로 같다. 집합 $A^C \cap B^C$의 모든 원소의 합은? ① $18$ ② $19$ ③ $20$ ④ $21$ ⑤ $22$ 더보기 정답 ⑤

두 직선 $l_1 : 2x+y+2=0, \; l_2 : x-2y-4=0$의 교점을 $\mathrm{A}$, 두 직선 $l_1, \; l_2$가 $x$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{B, \; C}$라 하자. 제1사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원 위의 점 $\mathrm{Q}$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 $\mathrm{Q}$는 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 무게중심이다. (나) 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 $3$배이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 두 직선 $l_1, \; l_2$는 서로 수직이다. ㄴ. 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표는 $2$이다...

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$가 있다. 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{A}$에서 출발하여 점 $\mathrm{F}$까지 화살표 방향으로 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$의 변을 따라 움직인다. 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{A}$로부터 움직인 거리가 $x \; (0

집합 $X=\{x \; |\; x \ge a\}$에서 집합 $Y=\{y\; | \; y \ge b\}$로의 함수 $f(x)=x^2-4x+3$이 일대일대응이 되도록 하는 두 실수 $a, \; b$에 대하여 $a-b$의 최댓값은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $17$

두 양수 $a, \; b$에 대하여 원 $C : (x-1)^2+y^2=r^2$을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 원을 $C'$이라 할 때, 두 원 $C, \; C'$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 원 $C'$은 원 $C$의 중심을 지난다. (나) 직선 $4x-3y+21=0$은 두 원 $C, \; C'$에 모두 접한다. $a+b+r$의 값을 구하시오. (단, $r$는 양수이다.) 더보기 정답 $12$

그림과 같이 한 개의 정삼각형과 세 개의 정사각형으로 이루어진 도형이 있다. 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에서 중복을 허락하여 네 개를 택해 네 개의 정다각형 내부에 하나씩 적을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (가) 세 개의 정사각형에 적혀 있는 수는 모두 정삼각형에 적혀 있는 수보다 작다. (나) 변을 공유하는 두 정사각형에 적혀 있는 수는 서로 다르다. 더보기 정답 $130$

최고차항의 계수가 양수인 두 다항식 $f(x), \; g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)$를 $x^2+g(x)$로 나눈 몫은 $x+2$이고 나머지는 $\{g(x)\}^2-x^2$이다. (나) $f(x)$는 $g(x)$로 나누어 떨어진다. $f(0) \ne 0$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. 더보기 정답 $33$

최고차항의 계수가 2인 이차함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 1인 이차함수 $g(x)$가 있다. 방정식 $\{f(x)-1\}\{g(x)-1\}=0$의 모든 실근의 집합을 $A$라 하고, 방정식 $f(x)=g(x)$의 모든 실근의 집합을 $B$라 하면 두 실수 $\alpha, \; \beta \; (\alpha < \beta)$에 대하여 $$A=\{\alpha, \; \beta\}, \quad B=\{\alpha, \; \beta+3\}$$이다. 상수 $k$에 대하여 방정식 $$\{f(x)-k\}\{g(x)-k\}=0$$의 서로 다른 실근의 개수가 3이고 이 세 실근의 합이 12일 때, $\alpha+\beta+k$의 값을 구하시오. 더보기 정답 $50$

$\angle {\rm C}=90^{\rm o}$ 인 직각삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이가 $16$ 일 때, $\overline{\rm AB}^2$ 의 최솟값은? ① $48$ ② $56$ ③ $64$ ④ $72$ ⑤ $80$ 더보기 정답 ③

$x$ 에 대한 연립방정식 $$\begin{cases} x^2 -2x-3 \ge 0 & {}\\ x^2-(5+k)x+5k \le 0 &{} \end{cases}$$ 을 만족시키는 정수 $x$ 의 개수가 $5$ 가 되도록 하는 모든 정수 $k$ 의 값의 곱은? ① $-36$ ② $-30$ ③ $-24$ ④ $-18$ ⑤ $-12$ 더보기 정답 ④