원의 방정식&원의 접선_난이도 중 (2022년 3월 전국연합 고2 27번)

두 양수 $a, \; b$에 대하여 원 $C :  (x-1)^2+y^2=r^2$을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 원을 $C'$이라 할 때, 두 원 $C, \; C'$이 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 원 $C'$은 원 $C$의 중심을 지난다.

(나) 직선 $4x-3y+21=0$은 두 원 $C, \; C'$에 모두 접한다.

 

$a+b+r$의 값을 구하시오. (단, $r$는 양수이다.)

 

정답 $12$