수악중독

다음은 $x$ 에 대한 삼차방정식 $$2x^3-5x^2+(k+3)x-k=0$$ 의 서로 다른 세 실근이 직각삼각형의 세 변의 길이일 때, 상수 $k$ 의 값을 구하는 과정의 일부이다. 삼차방정식 $2x^3-5x^2+(k+3)x-k=-$ 에서 $$(x-1) \left ( \boxed{ (가) } +k \right ) = 0$$ 이므로 삼차방정식 $2x^3-5x^2+(k+3)x-k=0$ 의 서로 다른 세 실근은 $1$ 과 이차방정식 $\boxed{ (가) } +k=0$ 의 두 근이다. 이차방정식 $\boxed{ (가) }+k=0$ 의 두 근을 $\alpha, \; \beta \; (\alpha > \beta)$ 라 하자. $1, \; \alpha, \; \beta$ 가 직각삼각형의 세 변의 길이가 되는 경우..

모든 실수 $x$ 에 대하여 두 이차다항식 $P(x), \; Q(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $P(x)+Q(x)=4$ (나) $\{P(x)\}^3 + \{Q(x)\}^3 = 12x^4+24x^3+12x^2+16$ $P(x)$ 의 최고차항의 계수가 음수일 때, $P(2)+Q(3)$ 의 값은? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ⑤

$x$ 에 대한 다항식 $x^4+ax+b$ 가 $(x-2)^2$으로 나누어떨어질 때, 몫을 $Q(x)$ 라 하자. 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+b+Q(2)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $40$

이차함수 $f(x)=x^2+ax-(b-7)^2$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x=-1$ 에서 최솟값을 가진다. (나) 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=cx$ 가 한 점에서만 만난다. 세 상수 $a, \; b, \; c$ 에 대하여 $a+b+c$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $11$

한 모서리의 길이가 $a$ 인 정육면체 모양의 입체도형이 있다. 이 입체도형에서 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $b$ 이고 높이가 $a$ 인 원기둥 모양의 구멍을 뚫었다. 남아 있는 입체도형의 겉넓이가 $216 + 16 \pi$ 일 때, 두 유리수 $a, \; b$ 에 대하여 $15(a-b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a>2b$) 더보기 정답 $60$

최고차항의 계수가 음수인 이차다항식 $P(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\{P(x)+x\}^2=(x-a)(x+a)\left (x^2+5 \right )+9$$ 를 만족시킨다. $\{P(a)\}^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a>0$) 더보기 정답 $16$

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 일차식 $x-a$ 를 인수로 가지는 다항식 $P(x)=x^4-290x^2+b$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 계수와 상수항이 모두 정수인 서로 다른 세 개의 다항식의 곱으로 인수분해된다. 모든 다항식 $P(x)$ 의 개수를 $p$ 라 하고, $b$ 의 최댓값을 $q$ 라 할 때, $\dfrac{q}{(p-1)^2}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $146$

$x$ 에 대한 이차함수 $y=x^2-4kx+4k^2+k$ 의 그래프와 직선 $y=2ax+b$ 가 실수 $k$ 의 값에 관계없이 항상 접할 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $\dfrac{1}{8}$ ② $\dfrac{3}{16}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{5}{16}$ ⑤ $\dfrac{3}{8}$ 더보기 정답 ②

직선 $3x+4y-12=0$ 이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하자. 선분 $\rm AB$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\rm P$ 라 할 때, 점 $\rm P$ 를 $x$ 축, $y$ 축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\rm Q, \; R$ 라 하자. 삼각형 $\rm RQP$ 의 무게중심의 좌표를 $(a, \; b)$ 라 할 때, $a+b$ 의 값은? ① $\dfrac{2}{9}$ ② $\dfrac{4}{9}$ ③ $\dfrac{2}{3}$ ④ $\dfrac{8}{9}$ ⑤ $\dfrac{10}{9}$ 더보기 정답 ⑤

그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 $\rm A(3, \; 5)$, $\rm B(0, \; 1)$, $\rm C(6, \; -1)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 선분 $\rm AB$ 위의 한 점 $\rm D$ 와 선분 $\rm AC$ 위의 한 점 $\rm E$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 선분 $\rm DE$ 와 선분 $\rm BC$ 는 평행하다. (나) 삼각형 $\rm ADE$ 와 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이의 비는 $1:9$ 이다. 직선 $\rm BE$ 의 방정식이 $y=kx+1$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{8}$ ② $\dfrac{1}{4}$ ③ $\dfrac{3}{8}$ ④ $\dfrac{1}{2}$ ⑤ $\dfrac{5}{8}$ ..