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목록2024/06 (95)
수악중독
그림과 같이 이차함수 $y=-x^2+4x+5$ 의 그래프와 직선 $y=2x+a$ 가 한 점 $\mathrm{A}$ 에서만 만난다. 이차함수 $y=-x^2+4x+5$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 두 점 $\mathrm{B, \; C}$ 에 대하여 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이는? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $21$ ② $22$ ③ $23$ ④ $24$ ⑤ $25$ 더보기정답 ④
$x$ 에 대한 다항식 $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+k$ 가 $\left (x^2+ax+b \right )^2$ 으로 인수분해되도록 하는 세 실수 $a, \; b, \; k$ 에 대하여 $a+b+k$ 의 값은? ① $11$ ② $13$ ③ $15$ ④ $17$ ⑤ $19$ 더보기정답 ⑤
$x$ 에 대한 다항식 $x^3+ax^2+bx-4$ 를 $x+1$ 로 나누었을 때의 몫은 $Q(x)$ 이고 나머지는 $3$ 이다. $\left (x^2+a \right ) Q(x-2)$ 가 $x-2$ 로 나누어떨어질 때, $Q(1)$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $-15$ ② $-13$ ③ $-11$ ④ $-9$ ⑤ $-7$ 더보기정답 ③
실수 $a$ 에 대하여 복소수 $z$ 를 $z=a^2-1+(a-1)i$ 라 하자. $z^2$ 이 음의 실수일 때, $$\left ( \dfrac{1-i}{\sqrt{2}} \right )^n = \dfrac{\left (z-\overline{z} \right )i}{4}$$ 가 되도록 하는 $100$ 이하의 자연수 $n$ 의 개수는? (단, $\overline{z}$ 는 $z$ 의 켤레복소수이고, $i=\sqrt{-1}$ 이다.) ① $8$ ② $9$ ③ $10$ ④ $11$ ⑤ $12$ 더보기정답 ⑤
$-2 \le x \le 2$ 에서 이차함수 $$f(x)=x^2-(2a-b)x+a^2-4b$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 는 $x=1$ 에서 최솟값을 가진다.(나) 함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $0$ 이다. $a+b$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $10$ ② $11$ ③ $12$ ④ $13$ ⑤ $14$ 더보기정답 ①
그림과 같이 길이가 $2a$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위의 두 점 $\mathrm{C, \; D}$ 가 $$\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{CD}}=a-1, \quad \overline{\mathrm{BD}}=8$$ 을 만족시킬 때, $a^3 - \dfrac{1}{a^3}$ 의 값은? (단, $a$ 는 $a>4$ 인 상수이다.) ① $231$ ② $232$ ③ $233$ ④ $234$ ⑤ $235$ 더보기정답 ④
$x$ 에 대한 삼차방정식 $$x^3 -\left (a^2+a-1 \right ) x^2 -a(a-3)x +4a=0$$ 이 서로 다른 세 실근 $\alpha, \; \beta, \; \gamma \; (\alpha ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기정답 ①
최고차항의 계수가 $2$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $-1$ 인 이차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 직선 $y=x$ 와 원점이 아닌 서로 다른 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 에서 만난다.(나) 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 직선 $y=x$ 와 한 점 $\mathrm{P}$ 에서만 만난다.(다) 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표는 점 $\mathrm{Q}$ 의 $x$ 좌표보다 작고, $\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{PQ}}$ 이다. 부등식 $f(x)+g(x) \ge 0$ 의 해가 모든 실수일 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표의 최댓값은? (단, $\m..
다항식 $(2x+y)^3$ 의 전개식에서 $xy^2$ 의 계수를 구하시오. 더보기정답 $6$$(2x+y)^3=8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3$따라서 $xy^2$ 의 계수는 $6$ 이다.
$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2-3x+a=0$ 의 두 근이 $1, \; b$ 일 때, $ab$ 의 값을 구하시오. (단, $a, ; b$ 는 상수이다.) 더보기정답 $4$한 근이 $1$ 이므로 주어진 방정식에 $x=1$ 을 대입하면 1-3+a=0$ 이 성립해야 한다.$\therefore a=2$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$ 이므로 $b=2$ $\therefore ab=2 \times 2 = 4$