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목록2017/07 (41)
수악중독
좌표평면에서 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 영역 $\{(x, \; y) \; | \; 0 \le x \le n, \; \; 0 \le y \le \sqrt{x} \}$ 에 속하는 점 중에서 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점을 동시에 선택하는 경우의 수를 $f(n)$ 이라 하자. (가) 두 점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수이다.(나) 두 점의 중점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수이다. 예를 들어, $f(4)=9$ 이다. $f(n) \le 100$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $9$
그림과 같이 $\overline{\rm AB}=2$ 이고 $\angle {\rm ABC} =2 \angle {\rm BAC}$ 를 만족하는 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AC$ 를 지름으로 하는 원과 직선 $\rm AB$ 가 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm P$, 점 $\rm P$ 를 지나고 선분 $\rm BC$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm AC$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. $\angle {\rm BAC }=\theta$ 라 할 때, 삼각형 $\rm APQ$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}$ 의 값은? (단, $0
평면 위에 반지름의 길이가 $13$ 인 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 위의 두 점 $\rm A, \; B$ 에 대하여 $\overline{\rm AB}=24$ 이고, 이 평면 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left | \overrightarrow{\rm AP} \right |=5$(나) $\overrightarrow{\rm AB}$ 와 $\overrightarrow{\rm AP}$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $5 \cos \theta$ 는 자연수이다. 원 $C$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $128$
상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수인 이차함수 $f(x)$ 가 있다. 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=|f'(x)|e^{f(x)}$$ 일 때, 함수 $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=2$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) 함수 $g(x)$ 의 최댓값은 $4\sqrt{e}$ 이다.(다) 방정식 $g(x)=4\sqrt{e}$ 의 근은 모두 유리수이다. $|f(-1)|$ 의 값을 구하시오. 정답 $71$
두 함수 $$f(x)= \left \{ \begin{array}{ll} kx^2+2kx+2 & (x \ge -2) \\ -3x-4 & (x < -2) \end{array} \right ., \;\; g(x)=-x+a$$ 가 있다. 양의 실수 $a$ 에 대하여 방정식 $f(x)=g(x)$ 의 모든 실근의 합을 $h(a)$ 라 할 때, 함수 $h(a)$ 가 항상 연속이 되도록 하는 상수 $k$ 의 최솟값을 $p$ 라 하자. $120 \times \dfrac{1}{p^2}$ 의 값을 구하시오. 정답 $480$
실수 $t$ 에 대하여 정의역이 $\{x \; | \; 8 \le x \le 10\}$ 인 함수 $$f(x)=x^2-18x+2|x-t|+80$$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 또한 함수 $g(t)$ 에 대해서 함수 $h(t)$ 가 $$h(t)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{1+\{g(t)\}^{2n}}$$ 와 같이 정의된다고 하자. 함수 $h(t)$ 가 $t=a$ 에서 불연속이 될 때, 모든 실수 $a$ 의 값의 합을 구하시오. 정답 $27$
좌표공간에서 평면 $\alpha \; : \; \sqrt{3}x + \sqrt{3}y + \sqrt{2}z=6 \sqrt{6}$ 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 와 원점 $\rm O$ 에 대하여 삼각형 $\rm OPQ$ 는 한 변의 길이가 $4\sqrt{3}$ 인 정삼각형이다. 점 $\rm P$ 가 $xy$ 평면과 평면 $\alpha$ 가 만나서 생기는 교선 위에 있을 때, 삼각형 $\rm OPQ$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영의 넓이는? (단, 점 $\rm Q$ 는 $xy$ 평면 위에 있지 않다.) ① $\dfrac{11\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{12\sqrt{3}}{7}$ ③ $\dfrac{13\sqrt{3}}{7}$ ④ $2\sqrt{3}$ ⑤ $\dfrac{15\sqrt{3..
최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 와 원점을 지나는 직선 $y=g(x)$ 가 양의 상수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to n} \dfrac{f(x)g(x)}{x-n}=0, \;\; \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\{f(x)g(x)\}^{\prime}}{x^3}=4n$ (나) 함수 $|f(x)|$ 는 $x=0$ 에서만 미분가능하지 않다.(다) $f \left ( \dfrac{2n}{3} +x \right ) + f \left ( \dfrac{2n}{3}-x \right ) = \dfrac{4n^3}{27}$ 실수 전체에서 연속인 함수 $h(x)$ 가 $h(x)= \left \{ \begin{array}{ll}..
$x \ge 0$에서 $f(x)>0$ 인 연속함수 $f(x)$ 와 일차함수 $g(x)$ 가 임의의 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) 닫힌 구간 $[0, \; 1]$ 에서 $f(x)=2^{-x}$ 이다.(나) 열린 구간 $(2n-1, \; 2n)$ 의 임의의 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 $x=t$ 및 $x$ 축, $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(t)$ 라 할 때, $S'(t)=nt+f(2n)-2n^2$ 이다.(다) 닫힌 구간 $[2n, \; 2n+1]$ 의 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)=f(x-2)+g(n)$ 이다. $g \left ( \dfrac{25}{2} \right ) \times \displaystyle \int_2^4 f(x) \;..
그림과 같이 한 변의 길이가 $6$ 인 정사면체 $\rm ABCD$ 가 있다. 선분 $\rm BC$ 의 중점을 $\rm M$, 선분 $\rm DM$ 을 $4:1$ 로 외분하는 점을 $\rm E$ 라 하자. 정사면체 $\rm ABCD$ 의 내부 또는 경계 위의 점 $\rm P$ 와 선분 $\rm AE$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm AQ}\cdot \overrightarrow{\rm QP}=0$ 이다. $\overrightarrow{\rm AD} \cdot \overrightarrow{\rm BP}$ 의 최댓값이 $12$ 일 때, $\overrightarrow{\rm CE} \cdot \overrightarrow{\rm QB}$ 의 값을 구하시오. 정답 $9$