수악중독

좌표공간에 원 $C\; :\; x^2+y^2=3, \; z=1$ 과 구 $S\; : \; (x-6)^2 +(y-8)^2 + (z-1)^2 = 9$ 가 있고, 원점 $\rm O$ 와 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OP}$ 를 법선벡터로 하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 원 $C$ 의 중심 $\rm A$ 와 구 $S$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm AQ$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 길이의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값을 구하시오. 정답 $15$

$\rm A$ 고등학교 탐구대회에 참가한 $2500$ 명의 학생에게 당일 식사를 제공하기 위해 다섯 개의 큰 식당을 마련하였다. 모든 학생이 임의로 한 식당을 선택해 들어갈 때, 첫 번째로 선택한 식당에서 식사할 수 있는 확률이 $95\%$ 이상이 되게 하려면 각 식당에서 적어도 몇 인분의 식사를 준비해야 하는지 구하시오.(단, ${\rm P}(0 \le Z \le 1.65)=0.450$) 정답 $533$

닫힌구간 $[t, \; t+3]$ 에서 함수 $f(x)=x^3-7x^2+35$ 의 최댓값을 $g(t)$ 라 할 때, 함수 $y=g(t)$ 가 미분가능하지 않은 점 $(s, \; g(s))$ 에 대하여 $s+g(s)$ 의 값을 구하시오. (단, $t$ 는 실수) 정답 $2$

그림과 같이 한 모서리의 길이가 $2$ 인 정육면체 $\rm ABCD-EFGH$ 와 평면 $\rm EFGH$ 위에 있으면서 중심이 점 $\rm H$ 이고 반지름의 길이가 $2$ 인 원을 아랫면, 평면 $\rm ABCD$ 위에 있으면서 중심이 점 $\rm D$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원을 윗면으로 하는 원뿔대가 있다. 이때, 선분 $\rm BF$ 의 중점 $\rm M$ 과 점 $\rm H$ 를 연결한 직선과 평행한 광선을 비추고 있다고 하자. 이 평행광선에 의해 원뿔대와 정육면체가 공유하는 입체의 그림자가 평면 $\rm EFGH$ 와 평행한 평면 $\alpha$ 위에 나타날 때, 이 그림자의 넓이를 $a\pi +b$ 라 하자. $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 정수) 정답..

모든 실수에서 미분가능한 두 함수 $f(x), \; g(x)$가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족한다. (가) $f(x)>0$(나) $\displaystyle \int_0^{\sin \pi x} f(t) \; dt = \int_{\cos \pi x}^{g(4x)} f(t) \; dt$ $\displaystyle \int_0^1 g(x) \; dx = 10$ 일 때, $\displaystyle \int_0^2 \left (x^2-6x+10 \right ) g'(x) \; dx$ 의 값을 구하시오. 정답 $72$

최고차항의 계수가 $1$ 인 두 이차 다항함수 $f(x), \; h(x)$ 와 $g(x)= \displaystyle \int_a^{x-a} f'(t) \; dt$ (단, $a$ 는 양의 상수) 로 정의되는 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)-f(2b-x)=0$ 이다.(나) 방정식 $f(x)=0$ 의 두 실근의 차와 방정식 $g(x)=0$ 의 두 실근의 차는 모두 $b$ 이다. (단, $b$ 는 상수)(다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\{f(x)+g(x)+M\}h(x)=2f(x)g(x)$ 가 성립한다. $M$ 의 최댓값이 $16$ 일 때, $f(2b)+g \left ( \dfrac{a}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. 정답 $132$

$3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 점 ${\rm P}(x, \; y)$의 개수를 $a_n$ 이라 하자. (가) $x, \;y$ 는 모두 음이 아닌 정수이다.(나) 원점 $\rm O$ 에 대하여 $\overline{\rm OP} \le n$ 이다.(다) $2x-y\sqrt{n^2-4} \ge 0$ 이다. 예를 들어, $a_3=5, \; a_4=7$ 이다. $b_n = \sum \limits_{k=3}^{2n+2} a_k$ 라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{3b_n-9n^2}{n+1}$ 의 값을 구하시오. 정답 $27$

최고차항의 계수가 $1$ 인 다항함수 $f(x)$ 와 양의 실수 $a$ 에 대하여 $x

실수 전체에서 정의된 함수 $f(x)$ 와 $2$차 이하의 다항함수 $g(x)$ 가 다음을 만족시킨다. (가) $f'(x)=f(x)g(x)$ 이다. (단, $f(x) \ne 0$) (나) $\lim \limits_{x \to -1} \dfrac{g(x)}{x+1}>0$ 이고, $g(x)$ 의 최고차항의 계수는 $3$ 이다. (다) 함수 $h(x)= |\;f(x)-t\;|\;\; (t>0)$ 에 대하여 $h(x)$ 가 미분가능하지 않은 점의 개수를 $i(t)$ 이라고 할 때, $i(t) \le 3$ 이고 $i(t)$ 는 $t= \alpha, \; \beta$ 에서만 불연속이다. $\dfrac{\beta}{\alpha}=e^4$ 일 때, $\ln \dfrac{f(3)}{f(2)}$ 의 값을 구하시오. 더보기..

실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 관한 방정식 $$\left (x^2-x \right ) \left ( x - (3t+1 ) \sqrt{x} +2t^2+t \right )=0$$ 의 서로 다른 실근의 합을 $f(t)$ 라고 하자. $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{x^2}=1$ 인 다항함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 집합 $$\begin{array}{ll}A= \left \{ s \; \middle | \; \lim \limits_{t \to s}f(t) \ne f(s) \right \} \\ B=\left \{ s \; \middle | \; \lim \limits_{t \to s} \left | f(t)-f(\alpha) \right ..