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목록2017/07 (41)
수악중독
미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x) = \displaystyle \int_{-x}^x f(t) \; dt$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x
정의역이 $\{x \; | \; 0 \le x \le 8 \}$ 이고 다음 조건을 만족시키는 연속함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^8 f(x)\; dx$ 의 최댓값은 $p+\dfrac{q}{\ln 2}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 자연수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.) (가) $f(0)=1$ 이고 $f(8) \le 100$ 이다. (나) $0 \le k \le 7$ 인 각각의 정수 $k$ 에 대하여 $$f(k+t)=f(k) \;\; (0
자연수 $n$ 에 대하여 $\log n$ 의 정수부분을 $f(n)$, 소수부분을 $g(n)$ 이라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 $k, \; m$ 의 순서쌍 $(k, \;m )$ 의 개수를 구하시오. (가) $1 \le k < m \le 200$(나) $\dfrac{f(k)-f(2)}{g(k)-g(2)} = \dfrac{f(m)-f(2)}{g(m)-g(2)}$ 정답 $30$
사차함수 $f(x)=3x^4-4(a+1)x^3+6ax^2-a$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) 함수 $f(x)$ 의 극댓값은 양수이다.(나) 함수 $|f(x)|$ 의 미분 불가능한 점의 개수는 $2$개다. 이때, $a$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. 정답 $1$
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 의 역함수가 존재하고, 함수 $(f \circ f)(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할때, 함수 $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g(3)=1, \; g(4)=2$(나) 함수 $g(x)$ 는 $x=3$ 과 $x=4$ 에서 미분가능하지 않다. $f(5)$ 의 값을 구하시오. 정답 $30$
수열 $\{a_n\}$ 을 다음과 같이 정의하자. 두 자연수 $m, \; n$ 에 대하여 $m-\dfrac{1}{2} < \sqrt{\dfrac{n}{3}} < m+ \dfrac{1}{2}$ 일 때, $a_n=m$ 이다. 예를 들어, $m=1$ 일 때, $1 \le n \le 6$ 이므로 $a_1=a_2=\cdots=a_6=1$ 이다.$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n\sqrt{n}} \sum \limits_{k=1}^n a_k = p$ 일 때, $81p^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $12$
한 변의 길이가 $2$ 인 정사면체 $\rm OABC$ 가 있다. 점 $\rm O$ 에서 $\overline{\rm BC}$ 에 내린 수선의 발을 $\rm M$, 점 $\rm O$ 에서 $\overline{\rm AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\rm N$ 이라 할 때, $\triangle \rm OCM$ 내분의 점 $\rm P$ 에 대하여 다음이 성립한다. $$\dfrac{\overrightarrow{\rm PM}}{ \left | \overrightarrow{\rm PM} \right |} + \dfrac{\overrightarrow{\rm PC}}{\left | \overrightarrow{\rm PC} \right |} + \dfrac{\overrightarrow{\rm PO}}{\left | \..
무리함수 $f(x)=\sqrt{\dfrac{x}{2}}$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, 자연수 $n$ 에 대하여 $$g(n) \le x \le g(n+1), \; \; n \le y \le n+1$$ 가 나타내는 영역에 세로의 길이와 가로의 길이가 모두 자연수인 직사각형 여러 개를 다음 규칙에 따라 빈틈없이 나열한다. (가) 영역에 나열된 직사각형의 수는 4개이다.(나) 왼쪽에 나열된 직사각형의 길이는 그보다 오른쪽에 나열된 직사각형의 가로의 길이보다 크지 않다. 규칙에 따라 직사각형을 나열하는 방법의 수를 $a_n$, 가장 왼쪽에 반드시 정사각형을 배치하고 남은 영역에 규칙에 따라 직사각형을 나열하는 방법의 수를 $b_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=2}^6 a_n - \sum..
실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 사차방정식 $(x-1) \left \{ x^2(x-3)-t \right \}=0$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $f(t)$ 라 하자. 다항함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{x^4}=0$ (나) $g(-3)=6$ 함수 $f(t)g(t)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $g(1)$ 의 값은? ① $22$ ② $24$ ③ $26$ ④ $28$ ⑤ $30$ 정답 ⑤
그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\rm P}_n \left ( n, \; n^2 \right ) $ 에서의 접선을 $l_n$ 이라 하고, 직선 $l_n$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 ${\rm Y}_n$ 이라 하자. $x$ 축에 접하고 점 ${\rm P}_n$ 에서 직선 $l_n$ 에 접하는 원을 $C_n$, $y$ 축에 접하고 점 ${\rm P}_n$ 에서 직선 $l_n$ 에 접하는 원을 $C'_n$ 이라 할 때, 원 $C_n$ 과 $x$ 축과의 교점을 ${\rm Q}_n$, 원 $C'_n$ 과 $y$ 축과의 교점을 ${\rm R}_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{{\rm OQ}_n}}{\overl..