수악중독

모든 실수 $x$ 에대하여 이차부등식 $x^2-2(a-1)x+b-2\ge0$ 이 성립할 때, $a+b$ 의 최솟값은 $m$ 이다. $4m$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \;b$ 는 실수이다.) 정답 $11$ 주어진 이차부등식이 모든 실수 $x$ 에 대해서 성립하려면 함수 $y=x^2-2(a-1)x+b-2$ 의 그래프가 $x$ 축 위쪽에서만 그려져야 한다. ($x$ 축에 접하는 것 까지는 괜찮음)따라서 이차방정식 $x^2-2(a-1)x+b-2=0$ 의 판별식이 $0$ 보다 작거나 같아야 한다. $\dfrac{D}{4}=(a-1)^2-b+2\le 0$ $$b \ge (a-1)^2+2$$ 또한 $a+b=k$ 라고 하면 아래 그림처럼 직선 $b=-a+k$ 가 곡선 $b=(a-1)^2+b$ 에 접할 때, 직..

그림과 같이 좌표평면에서 세 점 $\rm O(0, \;0), \;A(4, \;0), \; B(0, \;3)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm OAB$ 를 평행이동한 도형을 삼각형 $\rm O'A'B'$ 이라 하자. 점 $\rm A'$ 의 좌표가 $(9, \;2)$ 일 때, 삼각형 $\rm O'A'B'$ 에 내접하는 원의 방정식은 $x^2+y^2+ax+by+c=0$ 이다. $a+b+c$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \;b,\;c$ 는 상수이다.) 정답 $26$ 먼저 삼각형 $\rm OAB$ 에 내접하는 원의 방정식을 구한 다음 이 원을 $x$ 축의 방향으로 $5$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $2$ 만큼 평행이동 시킨 원의 방정식을 구하면 된다. ($\because \rm A \rightarrow..

전체집합 $U=\{1, \;2, \;3, \;4, \;5, \;6, \;7\}$ 의 두 부분집합 $$A=\{1, \;2, \;3\}, \;\; B=\{2, \;3, \;4, \;5\}$$ 에 대하여 집합 $P$ 를 $$P=(A \cup B) \cap (A \cap B)^C$$ 이라 하자. $P \subset X \subset U$ 를 만족시키는 집합 $X$ 의 개수를 구하시오. 정답 $16$ $$\begin{aligned} P &= (A \cup B) \cap (A \cap B)^C \\ &=(A \cup B) - (A \cap B) \\&=\{1, \;4, \;5\} \end{aligned}$$따라서 $X$는 $U$ 의 부분집합 중 $P=\{1, \;4, \;5\}$ 를 반드시 포함하는 부분집합이 된다..

그림과 같이 한 변의 길이가 $12$ 인 정사각형 $\rm OABC$ 모양의 종이를 점 $\rm O$ 가 원점에, 두 점 $\rm A, \; C$ 가 각각 $x$축, $y$축 위에 있도록 좌표평면 위에 놓았다. 두 점 $\rm D, \;E$ 는 각각 두 선분 $\rm OC, \; AB$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점이고, 선분 $\rm OA$ 위의 점 $\rm F$ 에 대하여 $\overline{\rm OF}=5$ 이다.선분 $\rm OC$ 위의 점 $\rm P$ 와 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm PQ$ 를 접는 선으로 하여 종이를 접었더니 점 $\rm O$ 는 선분 $\rm BC$ 위의 점 $\rm O'$ 으로, 점 $\rm F$ 는 선분 $\rm DE$ 위의 점..

집합 $X=\{1, \;2, \;3, \;4\}$ 에 대하여 $X$ 에서 $X$ 로의 일대일 대응인 함수 $f$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 집합 $X$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $(f \circ f)(x)=x$ 이다.(나) 집합 $X$ 의 어떤 원소 $x$ 에 대하여 $f(x)=2x$ 이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f(3)=f^{-1}(3)$ㄴ. $f(1)=3$ 이면 $f(2)=4$ 이다.ㄷ. 가능한 함수 $f$ 의 개수는 $4$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

그림과 같이 좌표평면에 세 점 $\rm O(0, \;0), \; A(8, \;4), \; B(7, \;a)$ 와 삼각형 $\rm OAB$ 의 무게중심 $\rm G(5, \;b)$ 가 있다. 점 $\rm G$ 와 직선 $\rm OA$ 사이의 거리가 $\sqrt{5}$ 일 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a$ 는 정수이다.)① $16$ ② $17$ ③ $18$ ④ $19$ ⑤ $20$ 정답 ①무게중심의 좌표에서 $$\dfrac{0+a+4}{3}=b \;\; \cdots\cdots ①$$또한 직선 $\rm OA$ 의 방정식은 $x-2y=0$ 이므로 점 $G$ 에서 직선 $\rm OA$ 까지의 거리에서 $$\dfrac{|5-2b|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$$$$5-2b=\pm 5$$$\theref..

두 자연수 $a,\; b$ 에 대하여 $$a^2b+2ab+a^2+2a+b+1$$ 의 값이 $245$ 일 때, $a+b$ 의 값은? ① $9$ ② $10$ ③ $11$ ④ $12$ ⑤ $13$ 정답 ②차수가 낮은 $b$ 에 대한 내림차순으로 정리해 주면 $$ \left (a^2 +2a+1 \right ) b+ \left ( a^2+2a+1 \right )=245$$ $$ \left (a^2 +2a+1 \right ) (b+1) = 245 $$ $$ (a+1)^2(b+1)=7^2 \cdot 5$$$a, \;b$ 는 자연수 이므로 $a=6, \; b=4$$\therefore a+b=10$

이차항의 계수가 $-1$ 인 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=g(x)$ 가 만나는 두 점의 $x$ 좌표는 $2$ 와 $6$ 이다. $h(x)=f(x)-g(x)$ 라 할 때, 함수 $h(x)$ 는 $x=p$ 에서 최댓값 $q$ 를 갖는다. $p+q$ 의 값은?① $8$ ② $9$ ③ $10$ ④ $11$ ⑤ $12$ 정답 ①

$x$ 에 대한 삼차방정식 $ax^3+2bx^2+4bx+8a=0$ 이 서로 다른 세 정수를 근으로 갖는다. 두 정수 $a, \; b$ 가 $|a| \le 50, \;|b| \le 50$ 일 때, 순서쌍 $(a, \;b)$ 의 개수를 구하시오. 정답 $46$

그림과 같이 좌표평면에서 두 점 $\rm A(2, \;0), \; B(1, \;2)$ 를 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. 삼각형 $\rm OAB$ 및 그 내부와 삼각형 $\rm ODC$ 및 그 내부의 공통부분의 넓이를 $S$ 라 할 때, $60S$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 정답 $64$