수악중독

$x$ 에 대한 삼차방정식 $ax^3+2bx^2+4bx+8a=0$ 이 서로 다른 세 정수를 근으로 갖는다. 두 정수 $a, \; b$ 가 $|a| \le 50, \;|b| \le 50$ 일 때, 순서쌍 $(a, \;b)$ 의 개수를 구하시오. 정답 $46$

그림과 같이 좌표평면에서 두 점 $\rm A(2, \;0), \; B(1, \;2)$ 를 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. 삼각형 $\rm OAB$ 및 그 내부와 삼각형 $\rm ODC$ 및 그 내부의 공통부분의 넓이를 $S$ 라 할 때, $60S$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 정답 $64$

어느 학교 학생 $200$ 명을 대상으로 두 체험 활동 $\rm A, \; B$ 를 신청한 학생 수를 조사하였더니 체험 활동 $\rm A$ 를 신청한 학생은 체험활동 $\rm B$ 를 신청한 학생보다 $20$ 명이 많았고, 어느 체험 활동도 신청하지 않은 학생은 하나 이상의 체험 활동을 신청한 학생보다 $100$ 명이 적었다. 체험 활동 $\rm A$ 만 신청한 학생 수의 최댓값을 구하시오. 정답 $85$

좌표평면에 두 점 $\rm A(1, \;-1), \; B(4, \;3)$ 이 있다. 반지름의 길이가 $1$ 이고 선분 $\rm AB$ 와 만나는 원의 중심을 $\rm P$ 라 할 때, 선분 $\rm OP$ 의 길이의 최댓값은 $M$, 최솟값은 $m$ 이다. $M+m$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.)① $\dfrac{61}{10}$ ② $\dfrac{31}{5}$ ③ $\dfrac{63}{10}$ ④ $\dfrac{32}{5}$ ⑤ $\dfrac{13}{2}$ 정답 ④

두 집합 $ A=\left \{ (x, \;y) \;|\; y \le 2-x^2 \right \}$ $B=\{(x, \;y) \;|\; a \le x \le y \le a+1\}$에 대하여 $A \cap B = B$ 를 만족시키는 실수 $a$ 의 최솟값은? ① $\dfrac{-2-3\sqrt{5}}{2}$ ② $\dfrac{-1-3 \sqrt{5}}{2}$ ③ $\dfrac{-1-2\sqrt{5}}{2}$ ④ $\dfrac{-2-\sqrt{5}}{2}$ ⑤ $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ 정답 ⑤

그림과 같이 유리함수 $y=\dfrac{k}{x} \;(k>0)$ 의 그래프가 직선 $y=-x+6$ 과 두 점 $\rm P, \;Q$ 에서 만난다. 삼각형 $\rm OPQ$ 의 넓이가 $14$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.)① $\dfrac{32}{9}$ ② $\dfrac{34}{9}$ ③ $4$ ④ $\dfrac{38}{9}$ ⑤ $\dfrac{40}{9}$ 정답 ①

세 조건 $p, \;q, \;r$ 의 진리집합을 각각 $$P=\{3\}, \;\; Q=\left \{ a^2-1, \; b \right \} , \;\; R= \{a, \; ab\}$$ 라 하자. $p$ 는 $q$ 이기 위한 충분조건이고, $r$는 $p$ 이기 위한 필요조건일 때, $a+b$ 의 최솟값은? (단, $a, \; b$ 는 실수이다.) ① $-\dfrac{3}{2}$ ② $-2$ ③ $-\dfrac{5}{2}$ ④ $-3$ ⑤ $-\dfrac{7}{2}$ 정답 ⑤