수악중독

다음은 $x$ 에 대한 다항식 $ax^9+bx^8+1$ 이 다항식 $x^2-x-1$ 로 나누어떨어지기 위한 정수 $a, \; b$ 의 값을 구하는 과정의 일부이다. 방정식 $ x^2-x-1$ 의 두 근을 $p, \;q$ 라 하면 $$p+q=1, \;\; pq=-1$$ 이다.따라서 $p^2+q^2=(가) , \;\; p^4+q^4=(나)$ 이다. $x$ 에 대한 다항식 $ax^9+bx^8+1$ 이 $x^2-x-1$ 로 나누어 떨어지면 $$ ap^9+bp^8=-1 \cdots\cdots①$$ $$ aq^9+bq^8=-1 \cdots\cdots ②$$ 이다. ①, ②의 양변에 각각 $q^8, \;p^8$ 을 곱하여 정리하면 $$ap+b=-q^8 \cdots\cdots③$$ $$ aq+b=-p^8\cdots\c..

세 유리수 $a, \;b, \;c$ 에 대하여 $x$ 에 대한 이차방정식 $$ax^2+\sqrt{3}bx+c=0$$ 의 한 근이 $\alpha=2+\sqrt{3}$ 이다. 다른 한 근을 $\beta$ 라 할 때, $\alpha + \dfrac{1}{\beta}$ 의 값은? ① $-4$ ② $-2\sqrt{3}$ ③ $0$ ④ $2\sqrt{3}$ ⑤ $4$ 정답 ③

복소수 $z=a+bi$ ($a, \; b$ 는 $0$ 이 아닌 실수)에 대하여 $z^2-z$ 가 실수일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $i=\sqrt{-1}$ 이고, $\overline{z}$ 는 $z$ 의 켤레복소수이다.) ㄱ. $\overline{z^2-z}$ 는 실수이다.ㄴ. $z+\overline{z}=1$ ㄷ. $z \overline{z} > \dfrac{1}{4}$ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

복소수 $z=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}i}$ 에 대하여 $z^n=1$ 이 되도록 하는 자연수 $n$ 의 최솟값은? (단, $i=\sqrt{-1}$이다.) ① $2$ ② $4$ ③ $ 6$ ④ $8$ ⑤ $10$ 정답 ④