수악중독

그림과 같은 좌표평면 위에서 두 점 \(\rm A\) 와 \(\rm B\)는 동시에 각각 한 칸씩 움직인다. 점 \(\rm A\) 는 \((0,\;0)\) 에서 출발하여 한 번에 한 칸씩 오른쪽 또는 위쪽으로 움직이고, 점 \(\rm B\) 는 \((5,\;7)\) 에서 출발하여 한 번에 한 칸씩 왼쪽 또는 아래쪽으로 움직인다. 좌표평면 위에서 두 점이 만날 확률은? (단, \(\rm O\) 는 원점이고, 각각 \(6\) 번 움직이는 동안 가능한 최단 경로들 중에서 하나의 경로를 선택할 확률은 같다.) ① \(\large \frac{19}{512}\) ② \(\large \frac{29}{512}\) ③ \(\large \frac{88}{441}\) ④ \(\large \frac{121}{441}\) ⑤..

두 양수 \(x,\;y\) 에 대하여 등식 \((\log _3 x)^2 +(\log _3 y)^2 = \log _9 x^2 + \log _9 y^2\) 이 성립할 때, \(xy\) 의 최댓값은 \(M\), 최솟값은 \(m\) 이다. \(M+m\) 의 값을 구하시오. 더보기 정답 10 \(\log_3 x=X,\; \log_3 y=Y\) 라고 하면 \(\log_9 x^2 = \dfrac{2}{2} \log_3 x = X\) 이고, \(\log_9 y^2 = \dfrac{2}{2} \log_3 y = Y\) 가 된다. 따라서 주어진 식은 $$X^2+Y^2=X+Y$$ 가 되고 \(X+Y= \log_3 x + \log_3 y = \log_3 xy\) 이므로 \(xy=3^{X+Y}\) 가 된다. 결국 \(X+Y\)..

함수 \(y=\log _2 \left | 5x \right |\) 의 그래프와 함수 \(y=\log _2 (x+2)\) 의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라고 하자. \(m>2\) 인 자연수 \(m\) 에 대하여 함수 \(y=\log _2 \left | 5x \right |\) 의 그래프와 함수 \(y=\log _2 (x+m)\) 의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 \({\rm C} (p,\;q) ,\;\; {\rm D} (r,\;s)\) 라고 하자. 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 점 \(\rm A\) 의 \(x\) 좌표는 점 \(\rm B\) 의 \(x\) 좌표보다 작고 \(p

\(A\) 는 세 자리의 자연수이고, \(B\) 는 \(900\) 보다 큰 세 자리의 자연수이다. \(\log B\) 의 가수가 \(\log A\) 의 가수의 \(2\) 배일 때, 자연수 \(A\) 의 값을 구하시오. 정답 310

\(K\) 보험사에는 다음과 같은 종신연금 상품이 있다. 최초 가입 시 단 한번 납입한 \(1\) 억 원을 연이율 \(5\%\), \(1\) 년 단위의 복리로 계산하여 \(10\) 년 후의 원리합계를 연근 준비금으로 한다. 가입하여 \(10\) 년이 지난 후부터 매년 \(A\) 원씩 연금을 영구히 받는다. \(n\) 번째의 연금 \(A\) 원을 연금 지급이 시작된 해의 가치로 환산하면 \(\Large \frac{A}{(1+0.05)^{n-1}}\) 원이다. 매년 받을 수 있는 연금을 연금 지급이 시작된 해의 가치로 환산하여 모두 더한 금액이 연금 준비금과 같아지도록 한다. \(2005\) 년 초에 이와 같은 종신연금에 가입했을 떄, \(2015\) 년 초부터 매년 받을 수 있는 연금액은? (단, \(1...

무게가 \(3^{20} {\rm g}\) 인 물건이 있다. 이 물건의 무게를 \(1{\rm g},\; 10{\rm g},\; 10^2{\rm g},\; 10^3{\rm g},\; \cdots\) 등의 추를 사용하여 측정하고자 한다. 사용하고자 하는 추의 개수를 최소로 할 때, 사용되는 가장 무거운 추의 무게는? (단, \(\log 2 =0.3010,\;\;\log 3=0.4771\) ) ① \(10^7 {\rm g}\) ② \(10^8 {\rm g}\) ③ \(10^9 {\rm g}\) ④ \(10^{10}{\rm g}\) ⑤ \(10^{11} {\rm g}\) 정답 ③

\(A\) 원의 목돈을 \(3\) 개월마다 \(2.5 \%\) 이율의 복리로 계산해 주는 예금에 \(5\) 년 동안 예치하였다. 중간에 원금이나 이자를 한 번도 인출한 적이 없다고 할 때, \(5\) 년 후의 원리 합계는 처음 원금의 약 몇 배가 되는가? (소수 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하고, 아래의 상용 로그표를 이용하시오.) 정답 1.64

함수 \(f(x)=x\log x\) 의 그래프는 다음 그림과 같이 \(x>0\) 인 구간에서 아래로 볼록한 모양이다. \(a+b=3\) 을 만족하는 양수 \(a, \; b\) 에 대하여 \(\Large \frac {f(a)+f(b)}{2}\) 의 최솟값은? (단, \(\log 2=0.3010,\;\; \log 3 = 0.4771\) ) ① \(0.1761\) ② \(0.26415\) ③ \(0.3010\) ④ \(0.38905\) ⑤ \(0.4771\) 정답 ②

원 \(x^2 +y^2 =1\) 위의 점 \({\rm P} (a,\;b)\)와 원 \(x^2 +y^2 =25\) 위의 점 \({\rm Q}(c,\; d)\) 에 대하여 행렬 \(A=\left ( \matrix { a& b \\ c& d} \right ) \) 로 정의하자. 행렬 \(A\) 이 역행렬이 존재하지 않도록 두 점 \(\rm P,\;Q\) 를 정할 때, \(\overline {\rm PQ}^2 \) 의 최댓값을 구하시오. 정답 36

역행렬을 갖는 이차정사각행렬 \(A\)에 대하여 \[\left ( \matrix { 1& k \\ 2 & 4}\right ) A = \left( \matrix {-1 & -3 \\ -2 & -6} \right ) , \;\; A^2 = \left ( \matrix {1 &k \\ 0 & 1} \right ) \] 이 성립할 때, 행렬 \(A^4\) 의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, \(k\) 는 실수) 정답 6