수악중독

먼저 \(\rm A\) 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 \(\rm B\) 주머니에 넣은 다음 다시 \(\rm B\) 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 \(\rm A\) 주머니에 넣는 과정을 한 번의 "시행"이라 하자. \(\rm A\) 주머니에는 검은 공이 3개, \(\rm B\) 주머니에는 흰 공이 3개 들어있는 처음 상태에서 연속하여 3회의 '시행'을 했을 때 두 주머니의 공이 처음 상태와 같게 될 확률을 \(\dfrac{q}{p}\) (\(p,\;q\)는 서로소인 자연수)라 하자. 이 때, \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, 공의 모양과 크기는 모두 같다.) 정답 13

두 집합 \(X= \left\{ 1,\;2,\;3,\;4,\;5\right\}\) \(Y=\left\{1,\;2,\;3,\;\cdots,\;8,\;9\right\}\) 에 대하여 \(X\)에서 \( Y\)로의 함수 \(f\) 중 다음 조건을 만족하는 함수의 개수를 구하시오. \({\rm I}.\;\;f(1)\cdot f(3)\cdot f(5)\) 의 값은 홀수이다. \({\rm II}.\;\; x_1

어떤 경품 행사장에서 \(\rm A,\;B,\;C\) 세 명이 당첨권 3매를 포함한 응모권 10매가 들어 있는 상자에서 \(\rm A,\;B,\;C\) 순서대로 1장씩 뽑기로 하였다. \(\rm A,\;B\) 중 적어도 한 명이 당첨권을 뽑았을 때, \(\rm C\)가 당첨권을 뽑을 확률은? (단, 한 번 뽑은 응모권은 다시 넣지 않는다.) ① \(\dfrac{3}{32}\) ② \(\dfrac{9}{64}\) ③ \(\dfrac{3}{16}\) ④ \(\dfrac{15}{64}\) ⑤ \(\dfrac{9}{32}\) 정답 ④

한 개의 주사위를 \(10\) 번 던질 때, \(1,\; 1,\; 1,\; 1,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6\)과 같이 1의 눈이 다섯번 나타나고 \(2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6\)의 눈은 한 번 씩만 나타날 확률은 \(\dfrac{a}{2^5 \times 3^7}\) 이다. 자연수 \(a\)의 값은? ① \(35\) ② \(37\) ③ \(41\) ④ \(43\) ⑤ \(47\) 정답 ①

모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(\sqrt[3]{(a-5)x^2 +2(a-5)x-6}\) 이 음의 실수가 되도록 하는 자연수 \(a\) 의 값의 합은? ① \(6\) ② \(9\) ③ \(12\) ④ \(15\) ⑤ \(18\) 정답 ④

두 부등식 \[ \log _2 y \ge 2\log _2 x,\;\;\; y\le -x+6\] 을 동시에 만족시키는 좌표평면 위의 점 \((x,\;y)\) 에 대하여 \(2x-y\) 의 최댓값을 \(M\) 이라고 할 때, \(10M^2\) 의 값을 구하시오. 정답 10

그림과 같이 길이가 \(24\) 인 선분 \(\rm AB_1 \) 을 \(2:1\) 로 외분하는 점을 \(\rm C_1 \) 이라 하고, 선분 \(\rm B_1 C_1 \) 을 \(1:4\) 로 외분하는 점을 \(\rm B_2\) 라 한다. 또, 선분 \(\rm AB_2\) 를 \(2:1\) 로 외분하는 점을 \(\rm C_2 \) 라 하고, 선분 \(\rm B_2 C_2\) 를 \(1:4\) 로 외분하는 점을 \(\rm B_3 \) 이라 한다. 이와 같은 방법으로 \(\rm B_4 ,\;B_5 , \; \cdots\) 을 만들어 갈 때, 무한급수 \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\overline {{\rm{A}}{{\rm{B}}_n}} } \) 의 합을 구하시오. 정답 72

수열 \(\left \{ a_n \right \}\) 이 \(a_1 = {\dfrac {2^2 +1}{2^2 -1}},\;\;\;a_2 = {\dfrac{3^2+1}{3^2-1}},\;\;\;a_3 = {\dfrac{4^2+1}{4^2-1}},\;\;\;a_4 = {\dfrac{5^2+1}{5^2-1}},\;\;\;\cdots \) 일 때, \(\sum\limits_{k = 1}^{10} {{a_k} - \left[ {\sum\limits_{k = 1}^{10} {{a_k}} } \right]} \) 의 값은? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ① \(\dfrac{43}{132}\) ② \(\dfrac{41}{132}\) ③ \(\dfrac{13}{44}\) ④ \(..

\(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 다항식 \( 30 x^{2n-2} +x^{n-1} \) 을 \(2x-1\) 로 나누었을 때의 나머지를 \(R_n\) 이라 할 때, 무한급수 \(R_2 +R_3 +R_4 + \cdots \) 의 값을 구하시오. 정답 11

\(xy \ne 1\) 인 두 양의 실수 \(x,\;y\) 에 대하여 \(x^a = y^b =xy\) 를 만족하는 \(a,\;b\) 가 있다. 이 때, \(\dfrac{a^2 b^2 -a^2 -b^2}{a+b} \) 의 값은? ① \(-2\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ⑤