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목록미적분과 통계기본 (526)
수악중독
함수 \(f(x)=ax+2\;\;(a>0)\) 가 극한값 \[\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} f \left ( \dfrac{k}{n} \right ) \dfrac{1}{n} + \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} \left \{ f \left ( \dfrac{k}{n} \right ) - f \left ( \dfrac{k-1}{n} \right ) \right \}\cdot \dfrac{k-1}{n}=5\] 을 만족시킬 때, \(10a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(30\)
그림과 같이 두 점 \(\rm P,\;Q\) 는 각각 \((2,\;0), \;(0, \;-1)\) 에서 동시에 출발하여 점 \(\rm P\) 는 매초 \(3\) 의 속도로 \(x\) 축의 양의 방향으로 움직이고, 점 \(\rm Q\) 는 매초 \(1\) 의 속도록 \(y\) 축의 방향으로 움직인다.출발한 지 \(t\) 초 후의 위치를 각각 \(\rm P', \;Q'\) 라 하고 \(\triangle \rm OP'Q'\) 의 넓이를 \(S(t)\) 라 하자. \(\displaystyle \int _0 ^2 S(t) dt= \dfrac{q}{p}\) 일때, \(p^2 +q^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(29\)
그림과 같이 임의로 그은 직선 \(l\) 이 \(y\) 축과 만나는 점을 \(\rm A\), 점 \(\rm C(6,\;0)\) 과 을 지나고 \(y\) 축과 평행하게 그은 직선과의 교점을 \(\rm B\) 라 하자. 사다리꼴 \(\rm OABC\) 의 넓이가 곡선 \(f(x)=x^3 -6x^2\) 과 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이과 같을 때, 임의의 직선 \(l\) 은 항상 일정한 점 \(\rm D\) 를 지난다. 이때, \(\triangle \rm ODC\) 의 넓이를 구하시오. (단, \(\overline{\rm AB}\) 는 \(\overline{\rm OC}\) 아래에 있다.) 정답 \(54\)
그림과 같이 함수 \(f(x)=ax^2 +b \;(x\geq 0)\) 의 그래프와 그 역함수 \(g(x)\) 의 그래프가 만나는 두 점의 \(x\) 좌표는 \(1\) 과 \(2\) 이다. \(0\leq x \leq 1\) 에서 두 곡선 \(y=f(x),\; y=g(x)\) 및 \(x\) 축, \(y\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\) 라 하고, \(1\leq x \leq 2\) 에서 두 곡선 \(y=f(x),\; y=g(x)\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\) 라 하자. 이때, \(A-B\) 의 값은? (단, \(a, \;b\) 는 상수이다.)① \(\dfrac{1}{9}\) ② \(\dfrac{2}{9}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{4}{9}\) ⑤ \(\df..
다항함수 \(f(x)\) 는 모든 실수 \(x,\;y\) 에 대하여 \[f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1\] 을 만족시킨다. \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)-f'(x)}{x^2 -1} =14\) 일 때, \(f'(0)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(28\)
다항함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(0)=2\)(나) \(x>0\) 이면 \(f'(x)>0\) 이다. \(2\) 이상인 자연수 \(n\) 과 \(1 \leq k \leq n\) 인 자연수 \(k\) 에 대하여, 곡선 \(y=f'(x)\) 와 세 직선 \(x=\dfrac{k-1}{n},\; x=\dfrac{k}{n}, \;y=0\) 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(A_n (k)\) 라 하면 \[n^3 \left \{ A_n (1) +A_n (2) + \cdots + A_n (k) \right \} = \dfrac{1}{2}k^3 +2n^2 k\] 가 성립한다.곡선 \(y=xf(x)\) 와 \(x\) 축, \(y\) 축, \(x=1\) 로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(\dfra..
그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 원의 둘레를 \(6\) 등분하는 점을 각각 \(\rm A,\;B,\;C,\;D,\;E,\;F\) 라 하자. 두 점 \(\rm A,\; B\) 에서 두 직선 \(\rm OA,\; OB\) 에 접하는 포물선 \(C_1\) 을 그리고, 두 점 \(\rm B, \;C\) 에서 두 직선 \(\rm OB,\;OC\) 에 접하는 포물선 \(C_2\) 를 그린다. 이와 같은 방법으로 포물선 \(C_3 ,\; C_4 , \; C_5 , \; C_6\) 을 그릴 때, \(6\) 개의 포물선으로 둘러싸인 부분의 넓이는? ① \(2\sqrt{3}\) ② \( \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\) ③ \(3\sqrt{3}\) ④ \(\dfrac{7\s..
양수 \(a\) 에 대하여 점 \((a,\;0)\) 에서 곡선 \(y=3x^3\) 에 그은 접선과 점 \((0, \;a)\) 에서 곡선 \(y=3x^3\) 에 그은 접선이 서로 평행할 때, \(90a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(20\)
실수 \(x\) 에 대한 \(3\)차 방정식 \(x^3 -3x=t-2\) 의 실수 \(t\) 의 값에 따른 실근의 개수를 \(f(t)\) 라 하자. 실수 \(t\) 에 대한 방정식 \(f(t)=a^t\) 이 실근을 갖게 하는 양의 실수 \(a\) 의 최솟값은? (단, \(a \ne 1\) ) ① \(2^\frac{1}{4}\) ② \(3^\frac{1}{4}\) ③ \(2^\frac{1}{2}\) ④ \(3^\frac{1}{2}\) ⑤ \(3\) 이 문제는 교육청 모의고사 기출문제입니다. 원 문제의 풀이에서는 정답이 ①으로 되어 있습니다. 제 생각에 정답이 ①이 되기 위해서는 문제가 "t 의 값에 따른 실근의 개수"가 아닌 "t의 값에 따른 방정식 해집합의 원소의 개수" 가 되어야 합니다. 중근일지라도 ..