수악중독

\(\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=n+1}^{2n} \dfrac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} = \displaystyle \int_{a}^{b} \sqrt{x} \;dx\) 일 때, \(a+b\) 의 값은? ① \(0\) ② \(1\) ③ \(2\) ④ \(3\) ⑤ \(4\) 정답 ④

삼차함수 \(y=f(x)\) 의 도함수 \(y=f'(x)\) 의 그래프는 다음과 같다. \(f(0)=0\) 일 때, \(x\) 에 대한 방정식 \(f(x)=k\) 가 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 실수 \(k\) 의 값의 범위는? ① \(k>2\) ② \(k>3\) ③ \(k

그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리가 모두 \(1\) 인 바둑판 모양의 도로망이 있다. 로봇이 한 번 움직일 때마다 길을 따라 거리 \(1\) 만큼씩 이동한다. 로봇은 길을 따라 어느 방향으로도 움직일 수 있지만, 한 번 통과한 지점을 다시 지나지는 않는다. 이 로봇이 지점 \(\rm O\) 에서 출발하여 \(4\) 번 움직일 때, 가능한 모든 경로의 수는? (단, 출발점과 도착점을 일치하지 않는다.) ① \(88\) ② \(96\) ③ \(100\) ④ \(104\) ⑤ \(112\) 정답 ③

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 의 도함수 \(y=f'(x)\) 의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 다음 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 골라라. ㄱ. \(y=f(x)\) 는 모든 점에서 미분가능하다. ㄴ. \(f(x)=0\) 을 만족하는 \(x\) 의 값은 \(3\) 개다. ㄷ. \(y=f(x)\) 의 극값은 \(3\) 개다. 정답 ㄷ

임의의 실수 \(x\) 에 대하여 다음 조건을 만족하는 다항함수 \(f(x)\) 를 구하여라. \[\left \{ f'(x) \right \}^2 = 12f(x)-8, \;\; f(1)=2\] 정답 \(f(x)=3x^2 -2x+1,\;\; or\;\;f(x)=x^2 -10x+9\)

방정식 \(\cos x-x+1=0\) 이 오직 하나의 실근을 가질 때, 다음 중 실근이 존재하는 구간은? ① \( \left ( 0, \; \dfrac{\pi}{3} \right ) \) ② \( \left ( \dfrac{\pi}{3}, \; \dfrac{\pi}{2} \right ) \) ③ \( \left ( \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{2 \pi}{3} \right ) \) ④ \( \left ( \dfrac{2 \pi}{3}, \; \pi \right ) \) ⑤ \( \left ( \pi, \; \dfrac{3 \pi}{2} \right ) \) 정답 ②

함수 \(f(x)\) 는 구간 \((-1,\;1]\) 에서 \(f(x)=(x-1)(2x-1)(x+1)\) 이고, 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)=f(x+2)\) 이다. \(a>1\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 가 \(g(x)=\left\{ {\begin{array}{ll}{x\,\,\,\left( {x \ne 1} \right)}\\{a\,\,\,\left( {x = 1} \right)}\end{array}} \right.\) 일 때, 합성함수 \((f\circ g)(x)\) 가 \(x=1\) 에서 연속이다. \(a\) 의 최솟값을 구하여라. 정답 \(\dfrac{5}{2}\)

좌표평면 위에 있는 두 점 \({\rm O}(0,\;0),\;\;{\rm A}(2, \;0)\) 과 직선 \(y=2\) 위를 움직이는 점 \({\rm P}(t,\;2)\) 가 있다. 선분 \(\rm AP\) 와 직선 \(y=\dfrac{1}{2}x\) 가 만나는 점을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\triangle {\rm QOA}\) 의 넓이가 \(\triangle {\rm POA}\) 의 넓이의 \(\dfrac{1}{3}\) 일 때, \(t\) 의 값을 \(t_1\), \(\dfrac{1}{2}\) 일 때 \(t\) 의 값을 \(t_2\), \(\cdots\), \(\dfrac{n}{n+2}\) 일 때 \(t\) 의 값을 \(t_n\) 이라 하면, \(\lim \limits_{n \to \infty..

포물선 \(y=x(x+1)\) 위에 점 \({\rm A} (-1,\;0)\) 이 있다. 점 \(\rm P\) 가 점 \(\rm A\) 에서 포물선을 따라 원점 \(\rm O\) 로 한없이 가까이 갈 때, \(\angle {\rm APO}\) 의 크기의 극한값을 구하여라. 정답 \(135^o\) 이 문제의 풀이는 인문계 학생들을 대상으로 하였습니다. 자연계 학생들의 경우 삼각함수 tan의 덧셈정리를 이용하여 보다 쉽게 풀 수 있습니다.

\(f(x)\) 는 \(x\) 에 대한 다항식이고, \[\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=a,\;\; \lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x-2}=b,\; ab>0\]일 때 \(f(x)=0\) 은 닫힌 구간 \([1, \;2]\) 에서 적어도 \(3\) 개의 실근을 가짐을 보여라. 풀이 참조