수악중독

$1$ 부터 $10$ 까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 $3$ 개의 수를 선택한다. 선택된 세 개의 수의 곱이 $5$ 의 배수이고 합은 $3$ 의 배수일 확률은? ① $\dfrac{3}{20}$ ② $\dfrac{1}{6}$ ③ $\dfrac{11}{60}$ ④ $\dfrac{1}{5}$ ⑤ $\dfrac{13}{60}$ 더보기 정답 ③

$1$ 부터 $6$ 까지의 자연수가 하나씩 적힌 $6$ 장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $4$ 번 반복하여 확인한 네 개의 수의 평균을 $\overline{X}$ 라 할 때, ${\rm P} \left (\overline{X} = \dfrac{11}{4} \right ) = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $175$

각 면에 숫자 $1, \; 1, \; 2, \; 2, \; 2, \; 2$ 가 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 $6$ 번 던질 때, $n\; (1 \le n \le 6)$ 번째에 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 수를 $a_n$ 이라 하자. $a_1 + a_2 + a_3 > a_4 + a_5 + a_6$ 일 때, $a_1=a_4=1$ 일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $133$

주머니에 $1$ 부터 $12$ 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 이는 $12$ 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $3$ 개의 공을 동시에 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 작은 수부터 크기 순서대로 $a, \; b, \; c$ 라 하자. $b-a \ge 5$ 일 때, $c-a \ge 10$ 일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $9$

흰 공과 검은 공이 각각 $10$ 개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $5$ 이상이면 바구니에 있는 흰 공 $2$ 개를 주머니에 넣고, 나온 눈의 수가 $4$ 이하이면 바구니에 있는 검은 공 $1$ 개를 주머니에 넣는다. 위의 시행을 $5$ 번 반복할 때, $n \; (1 \le n \le 5)$ 번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 $a_n, \; b_n$ 이라 하자. $a_5 + b_5 \ge 7$ 일 때, $a_k=b_k$ 인 자연수 $k \; (1 \le k \le 5)$ 가 존재할 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$..

집합 $X=\{x \; | \; x \text{는} \; 8 \; \text{이하의 자연수} \}$ 에 대하여 $X$ 에서 $X$ 로의 함수 $f$ 중에서 임의로 하나를 선택한다. 선택한 함수 $f$ 가 $4$ 이하의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $f(2n-1)

한 개의 주사위를 네 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 $a, \; b, \; c, \; d$ 라 하자. $a \times b \times c \times d$ 의 값이 $4$ 의 배수일 때, 다음 조건을 만족시킬 확률은 $p$ 이다. $27p$ 의 값을 구하시오. (가) $a \le b \le c$ (나) $d$ 는 짝수이다. 더보기 정답 $4$

검은 공 $4$ 개, 흰 공 $2$ 개가 들어 있는 주머니에 대하여 다음 시행을 $2$ 회 반복한다. 주머니에서 임의로 $3$ 개의 공을 동시에 꺼낸 후, 꺼낸 공 중에서 흰 공은 다시 주머니에 넣고 검은 공은 다시 넣지 않는다. 두 번째 시행의 결과 주머니에 흰 공만 $2$ 개 들어 있을 때, 첫 번째 시행의 결과 주머니에 들어 있는 검은 공의 개수가 $2$ 일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $41$

그림과 같이 $8$ 개의 칸에 숫자 $0, \; 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7$ 이 하나씩 적혀 있는 말판이 있고, 숫자 $0$ 이 적혀 있는 칸에 말이 놓여 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나오는 눈의 수가 $3$ 이상이면 말을 화살표 방향으로 한 칸 이동시키고, 나오는 눈의 수가 $3$ 보다 작으면 말을 화살표 반대 방향으로 한 칸 이동시킨다. 위의 시행을 $4$ 회 반복한 후 말이 도착한 칸에 적혀 있는 수를 확률변수 $X$라 하자. ${\rm E}(36X)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $80$

$1, 2, 3, 4, 5$ 의 숫자가 하나씩 적힌 카드가 각각 $1$ 장, $2$ 장, $3$ 장, $4$ 장, $5$ 장이 있다. 이 $15$ 장의 카드 중에서 임의로 $2$ 장의 카드를 동시에 선택하는 시행을 한다. 이 시행에서 선택한 $2$ 장의 카드에 적힌 두 수의 곱의 모든 양의 약수의 개수가 $3$ 이하일 때, 그 두수의 합이 짝수일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $25$