수악중독

좌표평면에서 벡터 $\overrightarrow{u} = (3, \; -1)$ 에 평행한 직선 $l$ 과 직선 $m:\dfrac{x-1}{7}=y-1$ 이 있다. 두 직선 $l, \; m$ 이 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? ① $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$ ② $\dfrac{\sqrt{14}}{5}$ ③ $\dfrac{4}{5}$ ④ $\dfrac{3\sqrt{2}}{5}$ ⑤ $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ 더보기 정답 ⑤

좌표평면 위에 길이가 $6$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{C, \; D}$ 가 $$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=27, \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=9, \quad \overline{\mathrm{CD}} \gt 3$$ 을 만족시킨다. 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 와 상수 $k$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{DP}}-..

한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 에 대하여 $$2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+p \overrightarrow{\mathrm{BC}}=q\overrightarrow{\mathrm{CA}}$$ 일 때, $p-q$ 의 값은? (단, $p$ 와 $q$ 는 실수이다.) ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 에서 $$\left ( \overrightarrow{\mathrm{AB}}+k \overrightarrow{\mathrm{BC}} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}+3k \overrightarrow{\mathrm{CD}} \right )=0$$ 일 때, 실수 $k$ 의 값은? ① $1$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{1}{3}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{5}$ 더보기 정답 ②

좌표평면의 네 점 $\mathrm{A(2, \; 6), \; B(6, \; 2), \; C(4, \; 4), \; D(8, \; 6)}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 점 $\mathrm{X}$ 의 집합을 $S$ 라 하자. (가) $ \mathrm{ \left \{ \left ( \overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OD} \right ) \cdot \overrightarrow{OC} \right \} \times \left \{ \left | \overrightarrow{OX} - \overrightarrow{OC} \right | - 3 \right \} =0}$ (나) 두 벡터 $\mathrm{\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OP}..

직선 $2x+y=0$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 와 타원 $2x^2+y^2=3$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 $$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}} + \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$$ 를 만족시키고, $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 $0$ 이상인 모든 점 $\mathrm{X}$ 가 나타내는 영역의 넓이는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $13$

좌표평면에서 포물선 $y^2=2x-2$ 의 꼭짓점을 $\mathrm{A}$ 라 하자. 이 포물선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 와 양의 실수 $k$ 에 대하여 $$\overrightarrow{\mathrm{OX}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \dfrac{k}{\left | \overrightarrow{\mathrm{OP}} \right |} \overrightarrow{\mathrm{OP}}$$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{X}$ 가 나타내는 도형을 $C$ 라 하자. 도형 $C$ 가 포물선 $y^2=2x-2$ 와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$ 의 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $m^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는..

좌표평면에서 점 $\mathrm{A}(2, \; 2)$ 와 벡터 $\overrightarrow{u} = (2, \; 1)$ 에 대하여 $$\mathrm{\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA}} + t \overrightarrow{u} \; (t\text{는 실수})$$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{P}$ 가 나타내는 직선을 $l$ 이라 할 때, 포물선 $y^2=8x$ 에 접하고 직선 $l$ 에 평행한 직선을 $m$ 이라 하자. 두 직선 $l, \; m$ 의 $y$ 절편의 합은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ③

중심이 $\mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 위의 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에 대하여 $$\left | 3 \mathrm{\overrightarrow{OA}+2 \overrightarrow{OB}} \right | = \sqrt{5}$$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이는? ① $\dfrac{\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ③ $\dfrac{\sqrt{5}}{8}$ ④ $\dfrac{\sqrt{5}}{7}$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{5}}{6}$ 더보기 정답 ⑤

한 평면 위에 있는 서로 다른 네 점 $\mathrm{A, \; B, \; C, \; D}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left | \overrightarrow{\mathrm{AB}} \right | = 6$ (나) $\mathrm{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} = 0}$ 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 에 대하여 $$\mathrm{2 \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + 5 \overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC}}$$ 일 때, $\left | \m..