내적의 기하학적 의미 & 벡터의 덧셈_난이도 상 (2023년 7월 전국연합 고3 기하 29번)

 

 

좌표평면 위에 길이가 $6$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{C, \; D}$ 가 $$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=27, \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=9, \quad \overline{\mathrm{CD}} \gt 3$$ 을 만족시킨다. 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 와 상수 $k$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{DP}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

(나) $\overrightarrow{\mathrm{QB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QD}}=3$

 

$k \times \left ( \overrightarrow{\mathrm{AQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DP}} \right )$ 의 값을 구하시오.

 

 

정답 $15$