수악중독

자연수 $m$ 에 대하여 집합 $A_m$ 을 $$A_m = \left \{ (a, \; b) \; \middle | \;2^a = \dfrac{m}{b}, \; a, \; b\text{는 자연수} \right \}$$라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?ㄱ. $A_4 = \{(1, \; 2), \; (2, \; 1) \}$ㄴ. 자연수 $k$ 에 대하여 $m=2^k$ 이면 $n(A_m)=k$ 이다.ㄷ. $n(A_m)=1$ 이 되도록 하는 두 자리 자연수 $m$ 의 개수는 $23$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

$2$ 이상의 자연수 $x$ 에 대하여 $$\log_x n \;\; \left ( n \text{은 } 1 \le n \le 300 \text{ 인 자연수} \right )$$ 가 자연수인 $n$ 의 개수를 $A(x)$ 라 하자. 예를 들어, $A(2)=8, \; A(3)=5$ 이다.집합 $P=\{2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7, \; 8\}$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $X$ 에 대하여 집합 $X$ 에서 $X$ 로의 대응 $f$ 를 $$f(x)=A(x) \;\; \left ( x \in X \right )$$ 로 정의하면 어떤 대응 $f$ 는 함수가 된다. 함수 $f$ 가 일대일 대응이 되도록 하는 집합 $X$ 의 개수를 구하시오. 정답 $7$

자연수 전체의 집합의 부분집합 $X$ 가 상수 $p$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.(가) $n(X)=3$(나) $x \in X$ 일 때, $x$ 가 홀수이면 $\dfrac{x+p}{2} \in X$, $x$ 가 짝수이면 $\dfrac{x}{2} \in X$ 이다.$5 \in X$ 일 때, 모든 자연수 $p$ 의 값의 합을 구하시오. 정답 $62$

자연수 $k$ 에 대하여 수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1 = 6k$ (나) $a_{n+1}= \begin{cases} a_n -2 & (n은 \; 홀수) \\ a_n -1 & (n은 \; 짝수) \end{cases}$ $a_n >0$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최댓값 $M$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^M a_n=1220$ 일 때, $a_{10}$ 의 값을 구하시오. 정답 $46$

등차수열 $\{a_n\}$ 과 공비가 $1$ 보다 작은 등비수열 $\{b_n\}$ 이 $$ a_1 + a_8 = 8, \;\; b_2b_7=12, \;\; a_4=b_4, \;\; a_5=b_5$$ 를 모두 만족시킬 때, $a_1$ 의 값을 구하시오. 정답 $18$

첫째항이 $4$ 이고 공차가 $1$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^{12} \dfrac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}}$$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ②

자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=\dfrac{3}{x}\; (x>0)$ 위의 점 $\left (n, \; \dfrac{3}{n} \right )$ 과 두 점 $(n-1, \; 0), \;(n+1, \; 0)$ 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 $a_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{10} \dfrac{9}{a_n a_{n+1}}$ 의 값은? ① $410$ ② $420$ ③ $430$ ④ $440$ ⑤ $450$ 정답 ④

전체집합 $U=\{1, \;2, \;3, \;4, \;5, \;6, \;7, \;8\}$ 의 두 부분집합 $A=\{1, \;2\}$, $B=\{3, \;4, \;5\}$ 에 대하여 $$X \cup A = X, \;\; X \cap B^C = X$$ 를 만족시키는 $U$ 의 모든 부분집합 $X$ 의 개수를 구하시오. 정답 $8$

좌표평면에서 자연수 $n$ 에 대하여 영역 $$ \left \{ (x, \; y) \left | \; 0 \le x \le n, \;\; 0 \le y \le \dfrac{\sqrt{x+3}}{2} \right . \right \} $$ 에 포함되는 정사각형 중에서 다음 조건을 만족시키는 모든 정사각형의 개수를 $f(n)$ 이라 하자. (가) 각 꼭짓점의 $x$ 좌표, $y$ 좌표가 모두 정수이다.(나) 한 변의 길이가 $\sqrt{5}$ 이하이다. 예를 들어, $f(14)=15$ 이다. $f(n) \le 400$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $65$

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=\dfrac{3}{2}$ 이고 $$(n+2)(2n+1)a_{n+1} = -n(2n+3)a_n \;\; (n\ge 1)$$ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_n$ 이 $$a_n = (-1)^{n-1} \times \dfrac{2n+1}{n(n+1)}\;\;\; \cdots \;\; (*)$$ 임을 구학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, $$(좌변)=a_1= \dfrac{3}{2}, \;\;\; (우변)= (-1)^0 \times \dfrac{3}{1 \times 2} = \dfrac{3}{2}$$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다. (ii) $n=k$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $$a_k = (-1)^{k-1}\times \df..