로그&일대일 대응_난이도 상 (2017년 3월 교육청 나형 29번)

$2$ 이상의 자연수 $x$ 에 대하여 $$\log_x n \;\; \left ( n \text{은 } 1 \le n \le 300 \text{ 인 자연수} \right )$$ 가 자연수인 $n$ 의 개수를 $A(x)$ 라 하자. 예를 들어, $A(2)=8, \; A(3)=5$ 이다.

집합 $P=\{2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7, \; 8\}$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $X$ 에 대하여 집합 $X$ 에서 $X$ 로의 대응 $f$ 를 $$f(x)=A(x) \;\; \left ( x \in X \right )$$ 로 정의하면 어떤 대응 $f$ 는 함수가 된다. 함수 $f$ 가 일대일 대응이 되도록 하는 집합 $X$ 의 개수를 구하시오.

정답 $7$