수악중독

$\theta$ 를 나타내는 동경과 $6\theta$ 를 나타내는 동경의 $y$ 축에 대하여 서로 대칭인 관계를 가질 때, $\theta$ 의 값들의 총합을 구하여라. (단, $0 < \theta < 2 \pi$) 정답 $ 7\pi$ 두 동경이 $y$ 축에 대하여 서로 대칭이면 $6\theta + \theta = 2\pi \times n + \pi$ 의 관계가 성립한다. $\therefore \theta = \dfrac{2}{7} \pi \times n + \dfrac{\pi}{7}$ (단, $n$ 은 정수)이때, $0< \theta < 2\pi$ 이므로 $0 < \dfrac{2}{7} \pi \times n + \dfrac{\pi}{7} < 2 \pi$ $\therefore - \dfrac{1}{2} ..

함수 $f(x)=x^2 e^{ax}\; (a0)$ 을 만족시키는 $x$ 의 최댓값을 $ g(t)$ 라 정의하자. 함수 $g(t)$ 가 $t=\dfrac{16}{e^2}$ 에서 불연속일 때, $100a^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = 0$) 정답 $25$

함수 $f(x)=\dfrac{e^{\cos x}}{1+e^{\cos x}}$ 에 대하여 $$a=f(\pi-x)+f(x), \;\; b=\displaystyle \int_0^{\pi} f(x) dx $$ 일 때, $a+\dfrac{100}{\pi}b$ 의 값을 구하시오. 정답 $51$

그림과 같이 기울기가 $-\dfrac{1}{3}$ 인 직선 $ l$ 이 원 $ x^2+y^2=1$ 과 점 $\rm A$ 에서 접하고, 기울기가 $1$ 인 직선 $m$ 이 원 $x^2+y^2=1$ 과 점 $\rm B$ 에서 접한다. $100 \cos ^2 (\angle {\rm AOB}) $ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$는 원점이다.) 정답 $20$

그림과 같이 중심이 원점 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 가 $x$ 축의 양의 방향과 만나는 점을 $\rm A$, 원 $C$ 위에 있고 제1사분면에 있는 점 $\rm P$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$, $\angle{\rm POA}=\theta$ 라 하자. 삼각형 $\rm APH$ 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{r(\theta)}{\theta ^2}$ 의 값은?① $\dfrac{1}{10}$ ② $\dfrac{1}{8}$ ③ $\dfrac{1}{6}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 정답 ④

그림과 같이 함수 $$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{{e^{ - x}}}&{(x < 0)}\\{\sqrt {\ln (x + 1) + 1} }&{\left( {x \ge 0} \right)}\end{array}} \right.$$ 의 그래프 위의 점 ${\rm P}(x, \; f(x))$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하고, 선분 $\rm PH$ 를 한 변으로 하는 정사각형을 $x$ 축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 $\rm P$ 의 $ x$ 좌표가 $ x=- \ln2$ 에서 $ x=e-1$ 까지 변할 때, 이 정사각형이 만드는 입체 도형의 부피는?① $ e-\dfrac{3}{2}$ ② $e+\dfrac{2}{3}$ ③ $2e-..

함수 $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f'(0)=1$ㄴ. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge -\dfrac{1}{2}$ 이다.ㄷ. $0

함수 $f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n} + \cos 2 \pi x}{x^{2n}+1} $ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)= \displaystyle \int_{-x}^2 f(t) dt + \displaystyle \int_2^xtf(t)dt$$ 라 할 때, $g(-2) +g(2)$ 의 값은? ① $-2$ ② $0$ ③ $2$ ④ $4$ ⑤ $6$ 정답 ③

좌표평면에서 두 함수 $f(x)=2^x$ 의 그래프와 $g(x)=\left( \dfrac{1}{2} \right ) ^x$ 의 그래프가 있다. 두 곡선 $y=f(x), \; y=g(x)$ 가 직선 $x=t\;(t>0)$ 과 만나는 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (1) $t=1$ 일 때, 두 곡선 $y=f(x), \; y=g(x)$ 와 직선 $\rm AB$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는? ① $\dfrac{5}{4 \ln 2}$ ② $\dfrac{1}{\ln 2}$ ③ $\dfrac{3}{4 \ln 2}$ ④ $\dfrac{1}{2 \ln 2}$ ⑤ $\dfrac{1}{4 \ln 2}$ (2) 점 $\rm A$ 에서 $ y$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라고 ..

한 변의 길이가 \(12\sqrt{3}\) 인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초 \(3\sqrt{3}\) 씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하면서 반지름의 길이가 늘어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가 \(24\sqrt{3}\) 이 되는 순간, 정삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이 \(a \pi\) 이다. 이때, 상수 \(a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(36\)