수악중독

함수 $f(x)=\dfrac{1}{x^2+x}$ 에 대해서 $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f \left (1+ \dfrac{2k}{n} \right )$ 의 값은? ① $\ln \dfrac{9}{8}$ ② $\ln \dfrac{5}{4}$ ③ $\ln \dfrac{11}{8}$ ④ $\ln \dfrac{3}{2}$ ⑤ $\ln \dfrac{13}{8}$ 정답 ④

두 곡선 $y=2^x, \; y=-4^{x-2}$ 이 $y$ 축과 평행한 한 직선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \;B$ 라 하자. $\overline{\rm OA}= \overline{\rm OB} $ 일 때, 삼각형 $\rm AOB$ 의 넓이는? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $64$ ② $68$ ③ $72$ ④ $76$ ⑤ $80$ 정답 ①

닫힌 구간 $[0, 2\pi]$ 에서 $x$ 에 대한 방정식 $\sin x - x \cos x -k=0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 모든 정수 $k$ 의 값의 합은?① $-6$ ② $-3$ ③ $0$ ④ $3$ ⑤ $6$ 정답 ⑤

미분가능한 함수 $f(x)$ 와 $f(x)$ 의 역함수 $g(x)$ 가 $g \left ( 3f(x)-\dfrac{2}{e^x+e^{2x}} \right) = x$ 를 만족시킬 때, 다음은 $g' \left ( \dfrac{1}{2} \right )$ 의 값을 구하는 과정이다. $g \left ( 3f(x)-\dfrac{2}{e^x +e^{2x}} \right ) =x$ 에서$3f(x)-\dfrac{2}{e^x+e^{2x}} = g^{-1}(x)$ 이므로 $f(x)=\dfrac{1}{(가)}$이다.$f(x)$ 의 도함수를 구하면 $f'(x)=\dfrac{-e^x-2e^{2x}}{(가)^2}$이다. $f(0)=\dfrac{1}{2}$ 이므로 $g \left (\dfrac{1}{2} \right ) = 0$..

두 함수 $f(x)=\ln x, \; g(x)=\ln \dfrac{1}{x}$ 의 그래프가 만나는 점을 $\rm P$ 라 할 때 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 점 $\rm P$ 의 좌표는 $(1, \;0)$ 이다.ㄴ. 두 곡선 $y=f(x), \; y=g(x)$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 각각의 접선은 서로 수직이다.ㄷ. $t>1$ 일 때, $ -1 < \dfrac{f(t)g(t)}{(t-1)^2}

그림과 같이 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원의 둘레를 $n \;(n \ge 4)$ 등분한 점을 $\rm A_1, \; A_2, \; \cdots, \; A_{\it n}$ 이라 하자. 호 ${\rm A}_i {\rm A}_{i+1}(i=1, \;2, \; \cdots, \; n)$ 을 이등분한 점을 ${\rm M}_i$라 하고, 사각형 ${\rm A}_i{\rm M}_i {\rm A}_{i+1}{\rm N}_i$ 가 마름모가 되도록 하는 선분 ${\rm OM}_i$ 위의 점을 ${\rm N}_i$ 라 하자. $n$ 개의 사각형 $\rm A_1M_1A_2N_1$, $\rm A_2M_2A_3N_2$, $\rm A_3M_3A_4N_3$, $\cdots$, ${\rm A}_n{\rm M..

그림과 같이 함수 $f(x)=\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}$ 에 대하여 좌표평면 위의 두 점 ${\rm A}(x, \;0), \; {\rm B}(x, \;f(x))$ 를 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 $x$ 축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 $\rm A$의 $x$ 좌표가 $x=1$ 에서 $x=\ln 6$ 까지 변할 때, 이 정사각형이 만드는 입체도형의 부피는 $-a+b \ln 6$ 이다. $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 자연수이다.) 정답 $12$

$0\le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$ 인 $\theta$ 에 대하여 좌표평면 위의 두 직선 $l, \; m$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 직선 $l, \;m$ 은 서로 평행하고 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각 $\theta$ 이다.(나) 두 직선 $l, \;m$ 은 곡선 $y=\sqrt{2-x^2} \;(-1 \le x \le 1)$ 과 각각 만난다. 두 직선 $l$ 과 $m$ 사이의 거리의 최댓값을 $f(\theta)$라 할 때, $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) d \theta = a+b \sqrt{2} \pi$ 이다.$20(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$는 유리수이다.) 정답..

함수 $f(x)=\dfrac{5}{2}-\dfrac{10x}{x^2+4}$ 와 함수 $g(x)=\dfrac{4-|x-4|}{2}$ 의 그래프가 그림과 같다.$0 \le a \le 8$ 인 $a$ 에 대하여 $\displaystyle \int _0^a f(x)dx + \int _a^8 g(x) dx$ 의 최솟값은? ① $14-5 \ln 5$ ② $15-5 \ln 10$ ③ $15-5 \ln 5$ ④ $16 - 5 \ln 10$ ⑤ $16 - 5 \ln 5$ 정답 ④

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x) \ne 1$(나) $f(x)+f(-x)=0$ (다) $f'(x)=\{1+f(x)\}\{1+f(-x)\}$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ne -1$ 이다.ㄴ. 함수 $f(x)$ 는 어떤 열린 구간에서 감소한다.ㄷ. 곡선 $y=f(x)$ 는 세 개의 변곡점을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ①