두 동경의 위치 관계_난이도 중

$\theta$ 를 나타내는 동경과 $6\theta$ 를 나타내는 동경의 $y$ 축에 대하여 서로 대칭인 관계를 가질 때, $\theta$ 의 값들의 총합을 구하여라. (단, $0 < \theta < 2 \pi$)

정답 $ 7\pi$

두 동경이 $y$ 축에 대하여 서로 대칭이면 $6\theta + \theta = 2\pi \times n + \pi$ 의 관계가 성립한다.

$\therefore \theta = \dfrac{2}{7} \pi \times n + \dfrac{\pi}{7}$ (단, $n$ 은 정수)

이때, $0< \theta < 2\pi$ 이므로 

$0 < \dfrac{2}{7} \pi \times n + \dfrac{\pi}{7} < 2 \pi$            $\therefore - \dfrac{1}{2} < n < \dfrac{13}{2}$

$n$ 은 정수이므로 $n=0,\; 1, \;2, \;3, \;4, \;5,\; 6$ 이고, 그 때의 $\theta$ 값은

$\theta = \dfrac{\pi}{7}, \; \dfrac{3}{7}\pi, \; \dfrac{5}{7}\pi, \; \pi, \; \dfrac{9}{7}\pi, \;, \dfrac{11}{7}\pi, \;, \dfrac{13}{7}\pi$ 

가 된다.

따라서 $\theta$ 들의 합은 $7\pi$ 이다.