역함수의 미분계수_난이도 상 (2016년 7월 교육청 가형 17번)

미분가능한 함수 $f(x)$ 와 $f(x)$ 의 역함수 $g(x)$ 가 $g \left ( 3f(x)-\dfrac{2}{e^x+e^{2x}} \right) = x$ 를 만족시킬 때, 다음은 $g' \left ( \dfrac{1}{2} \right )$ 의 값을 구하는 과정이다.

$g \left ( 3f(x)-\dfrac{2}{e^x +e^{2x}} \right ) =x$ 에서

$3f(x)-\dfrac{2}{e^x+e^{2x}} = g^{-1}(x)$ 이므로

     $f(x)=\dfrac{1}{(가)}$

이다.

$f(x)$ 의 도함수를 구하면

     $f'(x)=\dfrac{-e^x-2e^{2x}}{(가)^2}$

이다. $f(0)=\dfrac{1}{2}$ 이므로 $g \left (\dfrac{1}{2} \right ) = 0$ 이다.

그러므로 $g' \left ( \dfrac{1}{2} \right ) = (나)$

이다.

위의 (가) 에 알맞은 식을 $h(x)$, (나)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $p \times h(\ln 2)$ 의 값은?

① $-8$           ② $-4$          ③ $0$          ④ $4$          ⑤ $8$

정답 ①