수악중독

그림과 같이 원 $x^2+y^2=1$ 위의 점 $\rm P$ 와 두 점 $\rm A(0, \; -1), \;\; B(1, \;0)$ 에 대하여 점 $\rm A$ 와 점 $\rm P$ 를 지나는 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm R$ 라 하자. $\angle \rm POB=\theta$ 라 하고 삼각형 $\rm ORP$ 의 넓이를 $T(\theta)$, 부채꼴 $\rm OBP$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{T(\theta)}{S(\theta)}=\alpha$ 이다. $100 \alpha$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\rm P$ 는 제1사분면 위의 점이고, $\rm O$ 는 원점이다.)정답 $100$

매개변수 $t\;(t>0)$ 으로 나타내어진 함수 $$x= t- \dfrac{2}{t}, \;\; y=t^2 + \dfrac{2}{t^2}$$ 에서 $t=1$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값은? ① $-\dfrac{2}{3}$ ② $-1$ ③ $-\dfrac{4}{3}$ ④ $-\dfrac{5}{3}$ ⑤ $-2$ 정답 ①

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 가 있다. 변 $\rm CD$ 위의 점 $\rm E$ 에 대하여 선분 $\rm DE$ 를 지름으로 하는 원과 직선 $ \rm BE$ 가 만나는 점 중 $\rm E$ 가 아닌 점을 $\rm F$ 라 하자. $\rm \angle EBC = \theta$ 라 할 때, 점 $\rm E$ 를 포함하지 않는 호 $\rm DF$ 를 이등분하는 점과 선분 $\rm DF$ 의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to \frac{\pi}{4}-} \dfrac{r(\theta)}{\dfrac{\pi}{4}-\theta}$ 의 값은? (단, $0 < \theta < \..

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족한다. (가) $\left ( \dfrac{f(x)}{x} \right )' = x^2 e^{-x^2}$(나) $g(x) = \dfrac{4}{e^4} \displaystyle \int_1^x e^{t^2}f(t) dt$ $f(1)=\dfrac{1}{e}$ 일 때, $f(2)-g(2)$ 의 값은? ① $\dfrac{16}{3e^4}$ ② $\dfrac{6}{e^4}$ ③ $\dfrac{20}{3e^4}$ ④ $\dfrac{22}{3e^4}$ ⑤ $\dfrac{8}{e^4}$ 정답 ③

함수 $f(x)=2x+ \sin x$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(4 \pi, \; 2 \pi)$ 에서의 접선의 기울기는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $4$

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 함수 $$g(x)=|2 \sin (x+2|x|)+1|$$ 에 대하여 함수 $h(x)=f(g(x))$ 는 실수 전체의 집합에서 이계도 함수 $h''(x)$ 를 갖고, $h''(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. $f'(3)$ 의 값을 구하시오. 정답 $48$

$a>1$ 인 상수 $a$ 에 대하여 두 곡선 $y=a^x$ 과 $y= \left(\dfrac{1}{2} \right ) ^{x-2}$ 이 점 $\rm P$ 에서 만난다. 점 $\rm P$ 에서 $y=a^x$ 과 접하는 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm A$, 점 $\rm P$ 에서 $y=\left( \dfrac{1}{2} \right )^{x-2}$ 과 접하는 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm B$, 점 $\rm P$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. $3 \overline{\rm AH}=\overline{\rm BH}$ 일 때, $a$ 의 값은? ① $4$ ② $5$ ③ $6$ ④ $7$ ⑤ $8$ 정답 ⑤

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원 위에 점 $\rm P$ 가 있다. 점 $\rm B$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 수직인 직선이 점 $\rm P$ 에서 이 반원에 접하는 직선과 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. $\rm \angle PAB=\theta$ 라 하고 직선 $\rm PQ$ 와 직선 $\rm BQ$, 호 $\rm PB$ 에 동시에 접하는 원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{r(\theta)}{\theta ^2}$ 의 값은? (단, $0

함수 $f \left (e^x \right ) = ax^3 + bx^2 +cx+d$ (단, $a, \;b, \;c, \;d$ 는 상수) 가 다음 조건을 만족한다. (가) $f(e)=3, \;\; f \left (e^2 \right ) =12 $(나) 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{e^{-x}}^{e^x} \dfrac{f(t)}{t} dt = 0$ 이 성립한다. $\displaystyle \int_1^{e^4} \dfrac{f(x)}{x} dx$ 의 값은? ① $80$ ② $82$ ③ $84$ ④ $86$ ⑤ $88$ 정답 $80$

좌표평면에서 함수 $f(x)=(\ln x)^2- \ln x$ 에 대하여 원점과 곡선 $ y=f(x)$ 위의 점 $\left ( t, \; f(t) \right )$ 를 이은 직선이 이 곡선과 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 $t=a_1$, $t=a_2$, $t=a_3$, $t=a_4$, $t=a_5$ $(a_1