수악중독

함수 \(f(x)\) 가 다음과 같다. \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{ - 3x + a}\\ {{x^3} + b{x^2} + cx}\\ { - 3x + d} \end{array}\;\;\;\;\begin{array}{ll} {\left( {x

좌표평면에서 삼차함수 \(f(x)=x^3+ax^2+bx\) 와 실수 \(t\) 에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((t, \;f(t))\) 에서 접선이 \(y\) 축과 만나는 점을 \(\rm P\) 라 할 때, 원점에서 점 \(\rm P\) 까지의 거리를 \(g(t)\) 라 하자. 함수 \(f(x)\) 와 함수 \(g(t)\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(1)=2\) (나) 함수 \(g(t)\) 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. \(f(3)\) 의 값은? (단, \(a, \;b\) 는 상수이다.) ① \(21\) ② \(24\) ③ \(27\) ④ \(30\) ⑤ \(33\) 정답 ④

곡선 \(y=x^3-3x^2+2x\) 에 기울기가 \(m\) 인 접선을 두 개 그었을 때, 두 접점을 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(\rm P, \;Q\) 는 서로 다른 점이다.) ㄱ. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 의 \(x\) 좌표의 합은 \(2\) 이다. ㄴ. \(m>-1\) ㄷ. 두 접선 사이의 거리와 \(\overline{\rm PQ}\) 가 같아지는 실수 \(m\) 이 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

삼차함수 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) 와 이차함수 \(g(x)=ax^2+bx+c\) 에 대하여 다음 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(y=f(x)\) 의 그래프가 원점에 대하여 대칭이면 \(y=g(x)\) 의 그래프는 \(y\) 축에 대하여 대칭이다. ㄴ. \(f(x)\) 가 \(x=-1\) 과 \(x=1\) 에서 극값을 가지면 \(g(x)\) 는 \(x=0\) 에서 극값을 갖는다. ㄷ. \(f(x)\) 가 극값을 갖지 않으면 \(y=g(x)\) 의 그래프는 \(x\) 축과 만나지 않는다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

미분가능한 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프 위의 한 점 \(\rm P(2, \;1)\) 에서의 접선의 방정식의 \(y=3x-5\) 이다. 이때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{n}{2} \left \{ f \left ( 2 + \dfrac{1}{3n} \right )- f(2) \right \}\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{1}{4}\) ⑤ \(\dfrac{1}{5}\) 정답 ②

미분가능한 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 그림과 같다. \(g(x)=xf(x)\) 라 할 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, \(f'(2)=0\)) ㄱ. \(f(1)+g'(1)>0\) ㄴ. \(g(2)g'(2)>0\) ㄷ. \(f(3)+g'(3)>0\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④

미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 \(f(1)=0, \; \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{\{f(x)\}^2-2f(x)}{1-x}=10\) 을 만족시킬 때, \(x=1\) 에서의 미분계수 \(f'(1)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(5\)

이차함수 \(f(x)=x^2+ax+b\) (\(a,\;b\) 는 상수) 가 \(\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(2h)}{h}=5\) 를 만족시킬 때, \(10(a+b)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(25\)

사차함수 \(f(x)=x^4+ax^3+bx^2+c\) 에 대하여 방정식 \(f'(x)=0\) 이 서로 다른 세 실근 \(\alpha, \; \beta, \; \gamma\;( \alphac\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

사차함수 \(y=f(x)\) 의 도함수 \(y=f'(x)\) 의 그래프가 그림과 같이 \(x=-2\) 에서 \(x\) 축에 접하고, 점 \(3,\;0)\) 을 지날 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 함수 \(f(x)\) 는 \(x=3\) 에서 극댓값을 가진다. ㄴ. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 부등식 \(f(x)\leq f(-2)f(3)\) 이 성립한다. ㄷ. \(a \ne -2\) 일 때, \(f(-2)=f(a)\) 를 만족시키는 실수 \(a\) 에 대하여 함수 \(f(x)\) 는 구간 \((-a,\; \infty)\) 에서 항상 최댓값을 가진다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③