수악중독

그림과 같이 \(\overline{\rm AB} =9,\; \overline{\rm BC} =12,\; \cos(\angle {\rm ABC}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 인 사면체 \(\rm ABCD\) 에 대하여 점 \(\rm A\) 의 평면 \(\rm BCD\) 위로의 정사영을 \(\rm P\) 라 하고 점 \(\rm A\) 에서 선분 \(\rm BC\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\cos(\angle {\rm AQP}) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\) 일 때, 삼각형 \(\rm BCP\) 의 넓이는 \(k\) 이다. \(k^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(162\)

그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=5,\; \overline{\rm BC}=2\sqrt{7}\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 \(xy\) 평면 위에 있고, 점 \(\rm P(1, \; 1,\; 4)\) 의 \(xy\) 평면 위로의 정사영 \(\rm Q\) 는 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게중심과 일치한다. 점 \(\rm P\) 에서 직선 \(\rm BC\) 까지의 거리는?① \(3 \sqrt{2}\) ② \(\sqrt{19}\) ③ \(2\sqrt{5}\) ④ \(\sqrt{21}\) ⑤ \(\sqrt{22}\) 정답 ①

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 \(6\) 인 정삼각기둥 \(\rm ABC-DEF\) 가 있다. 변 \(\rm DE\) 의 중점 \(\rm M\) 에 대하여 선분 \(\rm BM\) 을 \(1:2\) 로 내분하는 점을 \(\rm P\) 라 하자. \(\overline{\rm CP}=l\) 일 때, \(10l^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(350\)

그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 \(\angle {\rm A}=\dfrac{\pi}{2}, \; \overline{\rm AB} = \overline{\rm AC}=2\sqrt{3}\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 중심이 점 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 구가 평면 \(\alpha\) 와 점 \(\rm A\) 에서 접한다. 세 직선 \(\rm OA, \; OB, \; OC\) 와 구의 교점 중 평면 \(\alpha\) 까지의 거리가 \(2\) 보다 큰 점을 각각 \(\rm D, \; E, \; F\) 라 하자. 삼각형 \(\rm DEF\) 의 평면 \(\rm OBC\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S\) 라 할 때, \(100S^2\) 의 값을 구하시오. 정..

좌표공간에 두 평면 \(\alpha\;:\;4y+3z-6=0\) 과 \(\beta \;:\; 2x+2y-z=0\) 이 있다. 점 \({\rm P} (1,\;0,\;2)\) 는 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 의 교선 위에 있는 점이고 점 \( \rm Q\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \( \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | =6\) (나) 직선 \(\rm PQ\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{4}\) 이다. 점 \(\rm Q\) 의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 \(\rm Q_1\) 이라 할 때, 선분 \(\rm PQ_1\) 의 길이의 최솟값 \(m\)과 최댓값 \(M\) 의 합은? ① ..

좌표공간의 선분 \(\rm AB\) 를 \(xy, \; yz\) 평면에 정사영 시킨 선분의 길이가 각각 \(a, \; b \) (단, \(a< \;b\)) 일 때, \(\overline{\rm AB}\) 의 최댓값 \(M\) 과 최솟값 \(m\) 에 대하여 \(\sqrt{M^2 - m^2}\) 의 값은? ① \(\sqrt{a^2 +b^2}\) ② \(\sqrt{a^2 -b^2}\) ③ \(a\) ④ \(b\) ⑤ \(b-a\) 더보기 정답 ③

그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(5\) 인 정육면체 \( \rm ABCD-EFGH\) 에서 \(\overline{\rm EF}\) 의 중점을 \(\rm M\) 이라 하자. 평면 \(\rm DCGH\) 위의 동점 \(\rm P\), \(\overline{\rm BM}\) 위의 동점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overline{\rm AP}+ \overline{\rm PQ}\) 의 최솟값을 \(m\) 이라 할 때, \(m^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(120\)

중심이 \(\rm O\) 이고 반지름이 \(4\) 인 구 위의 네 점 \(\rm A,\;B,\;C,\;D\) 가 \[\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}=2\sqrt{3},\;\; \overline{\rm AB} \parallel \overline{\rm CD} ,\;\; \overline{\rm AD}=6\] 을 만족시킬 때 사각뿔 \(\rm O-ABCD\) 의 부피를 구하면? ① \(2\sqrt{3}\) ② \(4\sqrt{3}\) ③ \(6\sqrt{3}\) ④ \(8\sqrt{3}\) ⑤ \(10\sqrt{3}\) 정답 ④

중심이 \(\rm O\) 이고 반지름이 \(3\) 인 구 \(S\) 위의 두 점 \(\rm A, \;B\) 와 \(S\) 위에 있지 않은 점 \(\rm P\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{\rm AB}=2\sqrt{3}\) (나) 두 직선 \(\rm AP, \; BP\) 는 구 \(S\) 와 접한다. (다) 평면 \(\rm OAP\) 와 평면 \(\rm OBP\) 는 서로 수직이다. 평면 \(\rm ABP\) 와 평면 \(\rm OBP\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(20 \tan^2 \theta\) 의 값을 구하시오. 정답 \(30\)

반지름의 길이가 \(2\) 인 구의 중심 \(\rm O\) 를 지나는 평면을 \(\alpha\) 라 하고, 평면 \(\alpha\) 와 이루는 각이 \(45^{\rm o}\) 인 평면을 \(\beta\) 라 하자. 평면 \(\alpha\) 와 구가 만나서 생기는 원을 \(C_1\), 평면 \(\beta\) 와 구가 만나서 생기는 원을 \(C_2\) 라 하자. 원 \(C_2\) 의 중심 \(\rm A\) 와 평면 \(\alpha\) 사이의 거리가 \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) 일 때, 그림과 같이 다음 조건을 만족하도록 원 \(C_1\) 위에 점 \(\rm P\), 원 \(C_2\) 위에 두 점 \(\rm Q, \;R\) 를 잡는다. (가) \(\angle \rm QAR=90^{\rm o}\)..