수악중독

그림과 같이 직선 $l$ 을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가 $\dfrac{\pi}{3}$ 인 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 있고, 평면 $\alpha$ 위의 점 $\rm A$ 와 평면 $\beta$ 위의 점 $\rm B$ 가 있다. 점 $\rm A$ 에서 평면 $\beta$ 에 내린 수선의 발을 $\rm A'$, 점 $\rm B$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\rm B'$ 이라 하자. $\overline{\rm AA'} = \sqrt{3}$, $\overline{\rm BB'}=\sqrt{3}$, $\overline{\rm A'B'}=\sqrt{2}$ 일 때, 사면체 $\rm AA'B'B$ 의 부피는? ① $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ② $\dfrac{..

다음 그림과 같이 $z$ 축 위의 점 $\rm A(0, \; 0,\; 4)$ 에서 $xy$ 평면 위의 직선 $x=3$ 위의 점 $\rm P$ 를 거쳐 점 $\rm B(5, \; 4, \;0)$ 까지 이르는 거리의 최솟값을 $k$ 라고 할 때, $k^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $65$만약 점 $\rm A$ 가 $xy$ 평면 위의 점이었다면 쉽게 최단 거리를 구할 수 있을 것입니다. 그래서 생각해 볼 수 있는 것이 원뿔에서 모선의 길이는 항상 같다를 이용하여 점 $\rm A$ 를 $xy$ 평면으로 옮기는 것입니다. 그럼 어떻게 원뿔을 그려야 할까를 생각해보면, 아래 그림처럼 점 $(3, \; 0, \; 0)$ 을 중심으로 하고, 반지름의 길이는 $5$ 이면서 (중심에서 점 $\rm A$ 까지의 거리가 $..

좌표공간에서 평면 $y=\left ( \tan 75^{\rm o} \right ) x $ 위의 도형 $S$ 를 벡터 $\overrightarrow{v}=(1, \; -1, \; 0)$ 에 평행한 광선으로 비추었더니, $zx$ 평면에 나타난 도형 $S$ 의 그림자는 중심이 $(4, \;0, \; 0)$ 이고 반지름의 길이가 $3$ 인 원이 되었다. 도형 $S$ 의 넓이는? ① $3\sqrt{3}\pi$ ② $4\sqrt{3}\pi$ ③ $\dfrac{9\sqrt{6}}{4}\pi$ ④ $3\sqrt{6}\pi$ ⑤ $\dfrac{9\sqrt{6}}{2}\pi$ 정답 ④

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 넓이가 $27$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있고, 평면 $\beta$ 위에 넓이가 $35$ 인 삼각형 $\rm ABD$ 가 있다. 선분 $\rm BC$ 를 $1:2$ 로 내분하는 점을 $\rm P$ 라 하고 선분 $\rm AP$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\rm Q$ 라 하자. 점 $\rm D$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하면 점 $\rm Q$ 는 선분 $\rm BH$ 의 중점이다. 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $47$

그림과 같이 직선 $l$ 을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가 $\dfrac{\pi}{4}$ 인 두 평면 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 있고, 평면 $\alpha$ 위의 점 $\rm A$ 와 평면 $\beta$ 위의 점 $\rm B$ 가 있다. 두 점 $\rm A, \; B$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. $\overline{\rm AB}=2, \;\; \overline{\rm AD}=\sqrt{3}$ 이고 직선 $\rm AB$ 와 평면 $\beta$ 가 이루는 각의 크기가 $\dfrac{\pi}{6}$ 일 때, 사면체 $\rm ABCD$ 의 부피는 $a+ b \sqrt{2}$ 이다. $36(a+b)$ 의 값을 구하시오. 정답 $12$

그림과 같이 좌표공간에서 서로 수직인 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위의 삼각형 $\rm ABC$ 와 평면 $\beta$ 위의 삼각형 $\rm BDC$ 에 대하여 $\rm \angle CAB= \angle DCB = \dfrac{\pi}{2}$ 이고 $\overline{\rm AC}=15$, $\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=25$ 이다. 점 $\rm A$ 와 직선 $\rm BD$ 사이의 거리를 $d$ 라고 할 때, $d^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $272$

그림과 같이 반지름의 길이가 $2$ 인 구 $S$와 서로 다른 두 직선 $l, \;m$ 이 있다. 구 $S$ 와 직선 $l$ 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \; B,$ 구 $S$ 와 직선 $m$이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm P, \;Q$ 라 하자. 삼각형 $\rm APQ$ 는 한 변의 길이가 $2\sqrt{3}$인 정삼각형이고 $\overline{\rm AB}=2\sqrt{2}, \; \angle {\rm ABQ}=\dfrac{\pi}{2}$ 일 때, 평면 $\rm APB$ 와 평면 $\rm APQ$ 가 이루는 각의 크기 $\theta$ 에 대하여 $100 \cos^2 \theta$ 의 값을 구하시오. 정답 $60$ 보충설명

좌표공간의 점 ${\rm P}(3, \;5, \;4)$ 에서 $xy$ 평면에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. $xy$ 평면 위의 한 직선 $l$ 과 점 $\rm P$ 사이의 거리가 $4 \sqrt{2}$ 일 때, 점 $\rm H$ 와 직선 $l$ 사이의 거리는? ① $3$ ② $\sqrt{10}$ ③ $2\sqrt{3}$ ④ $\sqrt{15}$ ⑤ $4$ 정답 ⑤

그림과 같이 한 변의 길이가 \(2\) 인 정팔면체 \(\rm ABCDEF\) 가 있다. 두 삼각형 \(\rm ABC, \; CBF\) 의 평면 \(\rm BEF\) 위로의 정사영의 넓이를 각각 \(S_1, \; S_2\) 라 할 때, \(S_1 + S_2\) 의 값은?① \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) ② \(\sqrt{3}\) ③ \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) ④ \(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\) ⑤ \(2\sqrt{3}\) 정답 ①

한 모서리의 길이가 \(4\) 인 정사면체 \(\rm ABCD\) 에서 선분 \(\rm AD\) 를 \(1:3\) 으로 내분하는 점을 \(\rm P\), \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm Q\) 라 하자. 두 평면 \(\rm PBC\) 와 \(\rm QBC\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos \theta = \dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(16\)