수악중독

\(a>1\) 일 때, \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{|x-a|-(a-1)}{x-1}\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(0\) ④ \(-1\) ⑤ \(-2\) 정답 ④

다항함수 \(g(x)\) 에 대하여 함수 \(f(x)=e^{-x} \sin x +g(x)\) 가 \[\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=1,\;\; \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2}=1\] 을 만족시킬 때, [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(g(0)=0\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{x^2}=1\) ㄷ. \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{g(x)}=1\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

\([-\pi,\;\pi]\) 에서 정의된 함수 \(f(x)=\sin \dfrac{x}{2}\) 에 대하여 \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f^{-1}(2x)}{x}\) 의 값은? ① \(\frac{1}{4}\) ② \(\frac{1}{2}\) ③ \(1\) ④ \(2\) ⑤ \(4\) 정답 ⑤

다항함수 \(f(x)\) 가 다음 두 조건을 만족한다. (가) \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=2\) (나) \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=3\) 이때, 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(f(f(1))=0\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x+1)}{x}=2\) ㄷ. \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(f(x))}{x-1}=6\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

그림과 같이 곡선 \()y=x^2\) 위의 점 \({\rm P} \left ( 2a, \; 4a^2 \right ) \) 에서의 접선 \(l\) 이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(\rm A\) 라 하고, 점 \(\rm A\) 를 지나고 접선 \(l\) 에 수직인 직선이 \(y\) 축과 만나는 점을 \(\rm B\) 라 하자. 삼각형 \(\rm OAB\) 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 \(r(a)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{a \to \infty} r(a)\) 의 값은? (단, \(a>0, \; \rm O\) 는 원점이다.) ① \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\) ② \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) ③ \(\dfrac{1}{8}\) ④ \(\dfrac{1}{6}\)..

그림과 같이 두 곡선 \(y=ax^2 \; (a>0),\;\; y= \ln (2x+1)\) 이 제\(1\)사분면에서 만나는 점을 \(\rm A\) 라 하자. 원점 \(\rm O\) 와 두 점 \({\rm B} (1, \;0), \; {\rm C}(0,\;1) \) 에 대하여 삼각형 \(\rm OAB\) 의 넓이를 \(S_1\), 삼각형 \(\rm OAC\) 의 넓이를 \(S_2\) 라 하자. \(a\) 의 값이 한없이 커질 때, \(\dfrac{S_1}{S_2}\) 의 값은 \(\alpha\) 에 한없이 가까워진다. \(\alpha\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{e}\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(1\) ④ \(2\) ⑤ \(e\) 정답 ④

다음 극한값은? \[\lim \limits_{n \to \infty} \left \{ \dfrac{1}{2} \left ( 1 + \dfrac{1}{n} \right ) \left ( 1 + \dfrac{1}{n+1} \right ) \left ( 1+ \dfrac{1}{n+2} \right ) \times \cdots \times \left (1+\dfrac{1}{2n} \right ) \right \}^{2n}\] ① \(\dfrac{1}{e^2}\) ② \(\dfrac{1}{e}\) ③ \(1\) ④ \(e\) ⑤ \(e^2\) 정답 ④

\(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{e^{5x}-e^{3x}-e^{2x}+1}{x^2}\) 의 극한값은? (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) ① \(3\) ② \(4\) ③ \(5\) ④ \(6\) ⑤ \(\ln 2\) 정답 ④

두 실수 \(a=\lim \limits_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{2t} ,\;\; b= \lim \limits_{t \to 0} \dfrac{e^{2t}-1}{t}\) 에 대하여 함수 \(f(x)\) 가 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}a&{\left( {x \ge 1} \right)}\\b&{\left( {x < 1} \right)}\end{array}} \right.\]일 때, [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(f(1)=\dfrac{1}{2}\) ㄴ. \(f(f(1))=2\) ㄷ. \(\lim \limits_{x \to 1-0} f(f(x))= \lim \limits_{x \to 1+0} f(f(x))\) ① ㄱ..

두 함수 \(f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+2}+1}{x^{2n}+2},\;\; g(x)=\sin (k\pi x)\) 에 대하여 방정식 \(f(x)=g(x)\) 가 실근을 갖지 않을 때, \(60k\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(10\) \(\sin (k \pi) \leq \dfrac{1}{2}\) 를 만족하는 \(k\) 가 \(\dfrac{5}{6}\) 가 될 수는 없냐고 질문한 분이 계셔서 추가 내용 올립니다. 아래 그림처럼 \(k=\dfrac{5}{6}\) 이 되면 \(x=1\) 에서의 함숫값은 \(\dfrac{1}{2}\) 보다 작아지지만 그 전에 이미 \(y=f(x)\) 와 교점을 갖기 때문에 조건에 맞지 않습니다.