수악중독

모든 실수 $x$ 에 대하여 등식 $$(x+2)^3 = ax^3+bx^2+cx+d$$ 가 성립할 때, $a+b+c+d$ 의 값은? (단, $a, \; b, \; c, \; d$ 는 상수이다.) ① $21$ ② $24$ ③ $27$ ④ $30$ ⑤ $33$ 더보기 정답 ③ $\begin{aligned} (x+2)^3 &= x^2 +6x^2+12x+8 \\ &=ax^3+bx^2+cx+d \end{aligned}$ $\therefore a=1, \; b= 6, \; c=12, \; d=8$ $a+b+c+d=1+6+12+8=27$

좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{O}(0, \; 0)$, $\mathrm{A}(3, \; 1)$ 에 대하여 선분 $\mathrm{OA}$ 를 $2:1$ 로 외분하는 점의 좌표가 $(a, \; b)$ 일 때, $a \times b$ 의 값은? ① $8$ ② $9$ ③ $10$ ④ $11$ ⑤ $12$ 더보기 정답 ⑤ 선분 $\mathrm{OA}$ 를 $2:1$ 로 외분하는 점의 좌표는 $\left (\dfrac{6}{1}, \; \dfrac{2}{1} \right )$ $\therefore a=6, \; b=2$ $a\times b = 6 \times 2 = 12$

좌표평면에서 직선 $y=2x+3$ 이 원 $x^2+y^2-4x-2ay-19=0$ 의 중심을 지날 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $4$ ② $5$ ③ $6$ ④ $7$ ⑤ $8$ 더보기 정답 ④ $x^2+y^2-4x-2ay-19=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-2)^2+(y-a)^2=a^2+15$ 따라서 원의 중심의 좌표는 $(2, \; a)$ 직선 $y=2x+3$ 이 점 $(2, \; a)$ 를 지나므로 $a=4+3=7$

$x, \; y$ 에 대한 연립방정식 $$\begin{cases} 2x+y=1 \\ x^2-ky=-6 \end{cases}$$ 이 오직 한 쌍의 해를 갖도록 하는 양수 $k$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ② $y=-2x+1$ 을 $x^2-ky=-6$ 에 대입하면 $x^2-k(-2x+1)=-6$ $x^2-2kx-k+6=0$ 따라서 연립방정식이 오직 한 쌍의 해를 가지려면 방정식 $x^2-2kx-k+6=0$ 가 중근을 가져야 한다. 방정식 $x^2-2kx-k+6=0$ 의 판별식을 $D$ 라고 하면 $\dfrac{D}{4} = k^2+k-6=(k+3)(k-2)=0$ $\therefore k=-3$ 또는 $k=2$ 양수 $k$ 의 값은 $2$ 이다.

그림과 같이 세 모서리의 길이가 각각 $x, \; x, \; x+3$ 인 직육면체 모양에 한 모서리의 길이가 $1$ 인 정육면체 모양의 구멍이 두개 있는 나무 블록이 있다. 세 정수 $a, \; b, \; c$ 에 대하여 이 나무 블록의 부피를 $(x+a) \left (x^2+bx+c \right )$ 로 나타낼 때, $a\times b \times c$ 의 값은? (단, $x>1$) ① $-5$ ② $-4$ ③ $-3$ ④ $-2$ ⑤ $-1$ 더보기 정답 ② 나무 블록의 부피는 $x \times x \times (x+3) - 2 \times 1=x^3+3x^2-2=(x+1)\left (x^2 +2x-2 \right )$ 이다. $\therefore a=1, \; b=2, \; c=-2$ $a \tim..

실수 $a$ 에 대한 조건 '모든 실수 $x$ 에 대하여 $x^2-2ax+4a-4 \ge 0$ 이다.' 가 참인 명제가 되도록 하는 $a$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ② 방정식 $x^2-2ax+4a-4 = 0$의 판별식을 $D$ 라고 할 때 $\dfrac{D}{4} = a^2-4a+4 =(a-2)^2 \le 0$ 이어야 한다. $(a-2)^2 \ge 0$ 이므로 결국 $(a-2)^2=0$ $\therefore a=2$

$x$ 에 대한 부등식 $|x-7| \le a+1$ 을 만족시키는 모든 정수 $x$ 의 개수가 $9$ 가 되도록 하는 자연수 $a$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③ $-a-1 \le x-7 \le a+1$ $-a+6 \le x \le a+8$ $(a+8)-(-a+6)+1 = 9$ $2a+3=9$ $\therefore a=3$

다항식 $f(x+3)$ 을 $(x+2)(x-1)$ 로 나눈 나머지가 $3x+8$ 일 때, 다항식 $f\left (x^2 \right )$ 을 $x+2$ 로 나눈 나머지는? ① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ①

좌표평면에서 직선 $y=-\dfrac{1}{3}x+2$ 에 수직인 직선의 기울기를 구하시오. 더보기 정답 $3$ 구하는 직선의 기울기를 $m$ 이라고 하면 $m \times \left (-\dfrac{1}{3} \right )= -1$ $\therefore m= 3$

좌표평면 위의 점 $(-4, \; 3)$ 을 $x$ 축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동한 점의 좌표가 $(1, \; 5)$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $7$ 좌표평면 위의 점 $(-4, \; 3)$ 을 $x$ 축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동한 점의 좌표는 $(-4+a, \; 3+b)$ $\therefore a-4=1, \; b+3=5$ $a=5, \; b=2$ $a+b=5+2=7$