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목록2024/06/04 (50)
수악중독
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다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $k$ 의 값의 합은? $\log_2 \sqrt{-n^2+10n+75} - \log_4 (75-kn)$ 의 값이 양수가 되도록 하는 자연수 $n$ 의 개수가 $12$ 이다. ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기정답 ④
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최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 상수 $k \; (k\ge 0)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\begin{cases}2x-k & (x \le k) \\ f(x) & (x>k) \end{cases}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능하다.(나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^x g(t) \left \{ | t(t-1) | + t(t-1) \right \} dt \ge 0$ 이고 $\displaystyle \int_3^x g(t) \left \{ | (t-1)(t+2)| - (t-1)(t+2) \right \} dt \ge 0$ 이다. $g(k+1)$ 의 최솟값은? ① $4-\sqrt..
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방정식 $\log_2 (x+1)-5=\log_{\frac{1}{2}} (x-3)$ 을 만족시키는 실수 $x$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $7$
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함수 $f(x)$ 에 대하여 $f'(x)=6x^2+2$ 이고 $f(0)=3$ 일 때, $f(2)$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $23$
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$\sum \limits_{k=1}^9 \left (ak^2-10k \right )=120$ 일 때, 상수 $a$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $2$
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시각 $t=0$ 일 때 워점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t \; (t \ge 0)$ 에서의 속도 $v(t)$ 가 $$v(t)=\begin{cases} -t^2+t+2 & (0 \le t \le 3) \\ k(t-3)-4 & (t>3) \end{cases}$$ 이다. 출발한 후 점 $\mathrm{P}$ 의 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각에서의 점 $\mathrm{P}$ 의 위치가 $1$ 일 때, 양수 $k$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $16$
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$5$ 이하의 두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 열린구간 $(0, \; 2\pi)$ 에서 정의된 함수 $y=a \sin x +b$ 의 그래프가 직선 $x=\pi$ 와 만나는 점의 집합을 $A$ 라 하고, 두 직선 $y=1$, $y=3$ 과 만나는 점의 집합을 각각 $B, \; C$ 라 하자. $n(A \cup B \cup C)=3$ 이 되도록 하는 $a, \; b$ 의 순서쌍 $(a, \; b)$ 에 대하여 $a+b$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M \times m$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $24$
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최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f'(a) \le 0$ 인 실수 $a$ 의 최댓값은 $2$ 이다.(나) 집합 $\{x | f(x)=k\}$ 의 원소의 개수가 $3$ 이상이 되도록 하는 실수 $k$ 의 최솟값은 $\dfrac{8}{3}$ 이다. $f(0)=0, \; f'(1)=0$ 일 때, $f(3)$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $15$
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수열 $\{a_n\}$ 은 $$a_2 = -a_1$$ 이고, $n\ge 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_n -\sqrt{n} \times a_{\sqrt{n}} & \left ( \sqrt{n} \text{ 이 자연수이고 } a_n>0 \text{ 인 경우}\right ) \\ a_n + 1 & (\text{그 외의 경우}) \end{cases}$$ 를 만족시킨다. $a_{15}=1$ 이 되도록 하는 모든 $a_1$ 의 값의 곱을 구하시오. 더보기정답 $231$
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두 사건 $A, \; B$ 는 서로 배반사건이고 $$\mathrm{P}\left (A^C \right ) = \dfrac{5}{6}, \quad \mathrm{P}(A \cup B)=\dfrac{3}{4}$$ 일 때, $\mathrm{P} \left (B^C \right )$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{8}$ ② $\dfrac{5}{12}$ ③ $\dfrac{11}{24}$ ④ $\dfrac{1}{2}$ ⑤ $\dfrac{13}{24}$ 더보기정답 ②