수악중독

자연수 $n$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $f(x)=\dfrac{4}{n^3} x^3 +1$ 이라 하자. 원점에서 곡선 $y=f(x)$ 에 그은 접선을 $l_n$, 접선 $l_n$ 의 접점을 $\mathrm{P}_n$ 이라 하자. $x$ 축과 직선 $l_n$ 에 동시에 접하고 점 $\mathrm{P}_n$ 을 지나는 원 중 중심의 $x$ 좌표가 양수인 것을 $C_n$ 이라 하자.원 $C_n$ 의 반지름의 길이를 $r_n$ 이라 할 때, $40 \times \lim \limits_{n \to \infty} n^2 (4r_n-3)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $270$

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 자연수 $m$ 에 대하여 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{f(x)\left (\dfrac{x}{m} \right )^n +x}{\left (\dfrac{x}{m} \right )^n+1}$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 는다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 미분가능하고, $g'(m+1) \le 0$ 이다. (나) $g(k)g(k+1)=0$ 을 만족시키는 자연수 $k$ 의 개수는 $3$ 이다. (다) $g(l) \ge g(l+1)$ 을 만족시키는 자연수 $l$ 의 개수는 $3$ 이다...

초점이 $\mathrm{F}$ 인 포물선 $y^2=20x$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{PF}}=15$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표는? ① $9$ ② $10$ ③ $11$ ④ $12$ ⑤ $13$ 더보기 정답 ②

두 초점이 $x$ 축 위에 있고, 두 초점 사이의 거리가 $30$ 인 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 $y=\dfrac{3}{4}x$ 일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? ① $16$ ② $18$ ③ $20$ ④ $22$ ⑤ $24$ 더보기 정답

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 포물선 $C:(y-a+1)^2=(a+b)x+1 \; (\text{단, } a+b \ne 0)$ 이 있다. 포물선 $C$ 가 원점을 지나고 초점과 준선 사이의 거리가 $2$ 일 때, $a-b$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자. $M-m$ 의 값은? ① $6$ ② $8$ ③ $10$ ④ $12$ ⑤ $14$ 더보기 정답

두 초점이 $\mathrm{F, \; F'}$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{y^2}{9}=-1$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 각 $\mathrm{FPF'}$ 의 이등분선이 점 $(0, \; 1)$ 을 지날 때, $\overline{\mathrm{FP}}+\overline{\mathrm{F'P}}$ 의 값은? ① $24$ ② $28$ ③ $32$ ④ $36$ ⑤ $40$ 더보기 정답

두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 이고 장축의 길이가 $18$ 인 타원을 $C_1$ 이라 하자. 점 $\mathrm{F}$ 를 지나고 $x$ 축에 수직인 직선이 타원 $C_1$ 과 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고 두 초점이 $\mathrm{F}$, $\mathrm{A}$ 이고 점 $\mathrm{P}(9, \; 0)$ 을 지나는 타원을 $C_2$ 라 하자. 두 타원 $C_1$, $C_2$ 가 만나는 점 중 점 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\cos (\angle \mathrm{FF'A})=\dfrac{12}{13}$ 일 때, $\overline{\math..

포물선 $x^2=ay \; (a>0)$ 이 두 포물선 $C_1 : y^2=8x, \quad C_2 : y^2=-x$ 와 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하고, 두 포물선 $C_1, \; C_2$ 의 초점을 각각 $\mathrm{F_1, \; F_2}$ 라 하자. 직선 $\mathrm{PQ}$ 의 기울기가 $2\sqrt{2}$ 일 때, $\overline{\mathrm{F_1P}}+\overline{\mathrm{F_2Q}}=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $29$

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0)$ 을 초점으로 하고 주축의 길이가 $6$ 인 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선이 선분 $\mathrm{FF'}$ 을 지름으로 하는 원과 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{F'P}$ 가 쌍곡선과 만나는 점 중 점 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{FQ}$ 가 쌍곡선과 만나는 점 중 $\mathrm{Q}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{R}$ 이라 하자. 점 $\mathrm{Q}$ 가 선분 $\mathrm{F'P}$ 를 $1:2$ 로 내분할 때, 삼각형 $\mathrm{QF'R}$ 의 넓이를 $S$ 라 ..