도형과 등비급수_난이도 상 (2021년 4월 교육청 고3 전국연합 28번)

그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\rm A_1B_1$ 을 지름으로 하는 원 $O_1$ 이 있다. 원 $O_1$ 의 외부에 $\angle {\rm B_1A_1C_1}=\dfrac{\pi}{2}$,   $\overline{\rm A_1B_1}:\overline{\rm A_1C_1}=4:3$ 이 되도록 $\rm C_1$ 을 잡고 두 선분 $\rm A_1C_1, \; B_1C_1$ 을 그린다. 원 $O_1$ 과 선분 $\rm B_1C_1$ 의 교점 중 $\rm B_1$ 이 아닌 점을 $\rm D_1$ 이라 하고, 점 $\rm D_1$ 을 포함하지 않는 호 $\rm A_1B_1$ 과 두 선분 $\rm A_1D_1, \; B_1D_1$ 로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 호 $\rm A_1D_1$ 과 두 선분 $\rm A_1C_1, \; C_1D_1$ 에 동시에 접하는 원 $O_2$ 를 그리고 선분 $\rm A_1C_1$ 과 원 $O_2$ 의 교점을 $\rm A_2$, 점 $\rm A_2$ 를 지나고 직선 $ \rm A_1B_1$ 과 평행한 직선이 원 $O_2$ 와 만나는 점 중 $\rm A_2$ 가 아닌 점을 $\rm B_2$ 라 하자. 그림 $R_1$ 에서 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 $\rm C_2, \; D_2$ 를 잡고, 점 $\rm D_2$ 를 포함하지 않는 호 $\rm A_2B_2$ 와 두 선분 $\rm A_2D_2, \; B_2D_2$ 로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $\rm R_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty}S_n$ 의 값은?

 

① $\dfrac{32}{15}\pi + \dfrac{256}{125}$          ② $\dfrac{9}{4}\pi + \dfrac{54}{25}$          ③  $\dfrac{32}{15}\pi + \dfrac{512}{125}$         

 

④ $\dfrac{9}{4}\pi + \dfrac{108}{25}$          ⑤ $\dfrac{8}{3}\pi + \dfrac{128}{25}$

 

정답 ③