수열의 극한&다항함수의 정적분_난이도 중상 (2022년 3월 전국연합 고3 미적분 30번)

그림과 같이 자연수 $n$에 대하여 곡선 $T_n\; : \; y=\dfrac{\sqrt{3}}{n+1}x^2\; (x \ge 0)$위에 있고 원점 $\rm O$와의 거리가 $2n+2$인 점을 $\mathrm{P}_n$이라 하고, 점 $\mathrm{P}_n$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}_n$이라 하자.
중심이 $\mathrm{P}_n$이고 점 $\mathrm{H}_n$을 지나는 원을 $C_n$이라 할 때,  곡선 $T_n$과 원 $C_n$의 교점 중 원점에 가까운 점을 $\mathrm{Q}_n$, 원점에서 원 $C_n$에 그은 두 접선의 접점 중 $\mathrm{H}_n$이 아닌 점을 $\mathrm{R}_n$이라 하자. 점 $\mathrm{R}_n$을 포함하지 않는 호 $\mathrm{Q}_n \mathrm{H}_n$과 선분 $\mathrm{P}_n\mathrm{H}_n$, 곡선 $T_n$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(n)$, 점 $\mathrm{H}_n$을 포함하지 않는 호 $\mathrm{R}_n\mathrm{Q}_n$과 선분 $\mathrm{OR}_n$, 곡선 $T_n$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(n)$이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{f(n)-g(n)}{n^2}=\dfrac{\pi}{2}+k$이다. $60k^2$의 값을 구하시오. (단, $k$는 상수이다.)

정답 $80$