수열의 극한의 성질_난이도 상 (2021년 3월 전국연합 고3 미적 30번)

자연수 $n$ 에 대하여 삼차함수 $f(x)=x(x-n)\left (x-3n^2 \right )$ 이 극대가 되는 $x$ 를 $a_n$ 이라 하자. $x$ 에 대한 방정식 $f(x)=f(a_n)$ 의 근 중에서 $a_n$ 이 아닌 근을 $b_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{a_nb_n}{n^3} = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $5$