도형과 등비급수_난이도 상 (2021년 8월 교육청 고3 미적분 29번)

그림과 같이 $\overline{\rm A_1D_1}=4, \; \overline{\rm B_1C_1}=10$ 이고, $\overline{\rm A_1B_1}=\overline{\rm C_1D_1}=6$ 인 사다리꼴 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm A_1 B_1$ 을 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\rm E_1$ 이라 하고, 선분 $\rm D_1C_1$ 을 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\rm F_1$ 이라 하자. 두 선분 $\rm A_1F_1, \; D_1E_1$ 의 교점을 $\rm G_1$ 이라 할 때, $5$ 개의 선분 $\rm A_1E_1, \; E_1G_1, \; G_1F_1, \; F_1D_1, \; D_1A_1$ 로 둘러싸인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 선분 $\rm E_1G_1$ 위의 점 $\rm A_2$, 선분 $\rm F_1G_1$ 위의 점 $\rm D_2$, 선분 $\rm B_1C_1$ 위의 두 점 $\rm B_2, \; C_2$ 를 꼭짓점으로 하고 $\overline{\rm A_2D_2} : \overline{\rm B_2C_2} : \overline{\rm A_2B_2} : \overline{\rm C_2D_2} = 2:5:3:3$ 인 사다리꼴 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 를 그린다. 그림 $R_1$ 을 얻는 것과 같은 방법으로 사다리꼴 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 에 $5$ 개의 선분 $\rm A_2E_2, \; E_2G_2, \; G_2F_2, \; F_2D_2, \; D_2A_2$ 로 둘러싸인 도형을 그리고 색칠하여 얻은 도형을 $R_2$ 라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty}S_n=\dfrac{q}{p}\sqrt{3}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $659$