등비수열의 극한_난이도 상 (2021년 4월 교육청 고3 전국연합 30번)

함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2} \; \; (a, \; b\; 는 \; 양의\; 실수)$$ 라 하자. 자연수 $m$ 에 대하여 방정식 $f(x)=2(x-1)+m$ 의 실근의 개수를 $c_m$ 이라 할 때, $c_k=5$ 인 자연수 $k$ 가 존재한다. $k+\sum \limits_{m=1}^\infty (c_m-1)$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $13$