기하와 벡터_쌍곡선_난이도 상

곡선 $y=\dfrac{1}{x}$ 위의 점 ${\rm A} \left ( t, \; \dfrac{1}{t} \right )\;\;(0<t<1)$ 을 지나고 직선 $y=x$ 에 수직인 직선이 직선 $y=x$ 와 만나는 점을 $\rm P$, 점 $\rm P$ 를 원점에 대하여 대칭이동시킨 점을 $\rm Q$ 라 하자. $\angle {\rm PAQ}$ 의 이등분선이 점 $\rm A$ 에서 곡선 $y=\dfrac{1}{x}$ 에 접하는 직선일 때, $t^2=p-\sqrt{q}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이다.)

정답 $11$