미적분과 통계기본_정적분_넓이와 적분_난이도 상

다항함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0)=2$

(나) $x>0$ 이면 $f'(x)>0$ 이다.

$2$ 이상인 자연수 $n$ 과 $1 \leq k \leq n$ 인 자연수 $k$ 에 대하여, 곡선 $y=f'(x)$ 와 세 직선 $x=\dfrac{k-1}{n},\; x=\dfrac{k}{n}, \;y=0$ 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $A_n (k)$ 라 하면 $n^3 \left \{ A_n (1) +A_n (2) + \cdots + A_n (k) \right \} = \dfrac{1}{2}k^3 +2n^2 k$ 가 성립한다.

곡선 $y=xf(x)$ 와 $x$ 축, $y$ 축, $x=1$ 로  둘러싸인 도형의 넓이가 $\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $a,\;q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $83$