미적분과 통계기본_정적분_넓이와 적분_난이도 상

다항함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(f(0)=2\)

(나) \(x>0\) 이면 \(f'(x)>0\) 이다.

\(2\) 이상인 자연수 \(n\) 과 \(1 \leq k \leq n\) 인 자연수 \(k\) 에 대하여, 곡선 \(y=f'(x)\) 와 세 직선 \(x=\dfrac{k-1}{n},\; x=\dfrac{k}{n}, \;y=0\) 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(A_n (k)\) 라 하면 \[n^3 \left \{ A_n (1) +A_n (2) + \cdots + A_n (k) \right \} = \dfrac{1}{2}k^3 +2n^2 k\] 가 성립한다.

곡선 \(y=xf(x)\) 와 \(x\) 축, \(y\) 축, \(x=1\) 로  둘러싸인 도형의 넓이가 \(\dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.)

정답 \(83\)