적분과 통계_적분_정적분의 성질_난이도 상

다음은 곡선 \(y=e^x\) 위의 점 \({\rm P}(x,\;y)\) 에서의 접선이 \(x\) 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(f(x)\) 라 할 때, \(\displaystyle \int _{-1}^{1}  f(x) dx\) 의 값을 구하는 과정이다. \(\left ( 단, \; 0<f(x)<\dfrac{\pi}{2} \right ) \)

곡선 \(y=e^x\) 에서 \(y'=e^x\) 이므로 \(\tan f(x)=e^x\) 이다.

모든 \(x\) 에 대하여 \(0<f(x)<\dfrac{\pi}{2}\) 이고,

\(\tan f(x) \cdot \tan f(-x)= (가)\) 이므로 \(f(x)+f(-x)=(나)\)

\(\displaystyle \int _{-1}^{1} f(x) dx=\displaystyle \int _{-1}^{1} f(-x) dx\) 이므로 \(\displaystyle \int _{-1}^{1} f(x) dx= (다)\) 

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 값을 순서대로 적으면?

① \(1,\;\;\dfrac{\pi}{2},\;\; \dfrac{\pi}{4}\)                    ② \(1,\;\;\dfrac{\pi}{2},\;\;\pi\)

③ \(1,\;\; \dfrac{\pi}{2},\;\;\dfrac{\pi}{2}\)                    ④ \(-1,\;\;\pi,\;\;\dfrac{\pi}{2}\)

⑤ \(-1,\;\;\pi,\;\;\pi\)

정답 ③